SOS-MATH

Bonjour,

Je cherche à déterminer le sens de variation d'une suite grâce à la récurrence.

Voici l'énoncé :

On considère la suite Un définie par U0 = 3, et pour tout entier naturel n, Un+1 = (4Un - 2)/(Un + 1).
Montrer par récurrence que la suite Un est décroissante.

J'ai pensé à deux solutions :
Montrer que Un+1 - Un < 0
ou
Montrer que Un+2 - Un+1 < 0

Avec la première solution, j'arrive à
(-Un² + 3Un -2)/(Un + 1) < 0

Et avec la seconde le calcul me semble beaucoup trop compliqué pour la question, à moins d'avoir fait une erreur.
Quelqu'un pourrait-il me mettre sur la bonne piste?

Merci d'avance !

Bonjour Fiona,

On demande une récurrence, donc ta méthode (signe de Un+1 - Un ) n'est pas bonne !

Donc on pose P(n) la propriété : pour tout n, Un+1 < Un (c'est-à-dire que (Un) est décroissante).

Vérifie la propriété pour n=0, puis montre l'hérédité ...

Remarque : pour montrer l'hérédité, tu auras besoin des variations de la fonction \(f(x) = \frac{4x-2}{x+1}\) car \(u_{n+1}=f(u_n)\).

SoSMath

Je tente d'aider une personne de ma famille, mais c'est assez compliqué car je ne me souviens plus beaucoup de mes cours de lycée...

On pose P(n) la propriété : Pour tout n, Un+1 < Un, c'est à dire Un est décroissante.

Pour l'initialisation :
U0 = 3 et Un+1 = (4Un - 2) / (Un + 1) donc
U1 = 3 et U1 = 2,5
U1 < U0 donc P(n) est vérifié au rang 0.

Hérédité :
f(x) = (4x -2 ) / (x + 1)
La dérivée de f(x) est f'(x) = 6 / (x + 1)²
f'(x) est de signe positif, mais égal à 0 quand x = -1.
Donc la fonction f(x) est croissante sauf quand x = -1.
C'est à partir d'ici que je bloque... Je n'arrive pas à voir le rapport avec le fait qu'Un+1 soit croissante.

Merci pour votre aide !

Bonsoir Fiona,

le sens de variation de f me semble correct. Une remarque :

Fiona a écrit : f'(x) est de signe positif, mais égal à 0 quand x = -1.

f' (et f) ne sont pas définies lorsque x=-1 (le dénominateur s'annule alors que le numérateur ne s'annule pas...)

Pour t'avancer un peu,

Tu as donc :

\(~u_1<u_0\)

Par hypothèse de récurrence, tu as :

\(~u_n<u_{n-1}\)

Il reste à montrer que :

\(~u_{n+1}<u_{n}\) (Pense à utiliser f).

Bon courage !