Bonjour,
Je cherche à déterminer le sens de variation d'une suite grâce à la récurrence.
Voici l'énoncé :
On considère la suite Un définie par U0 = 3, et pour tout entier naturel n, Un+1 = (4Un - 2)/(Un + 1).
Montrer par récurrence que la suite Un est décroissante.
J'ai pensé à deux solutions :
Montrer que Un+1 - Un < 0
ou
Montrer que Un+2 - Un+1 < 0
Avec la première solution, j'arrive à
(-Un² + 3Un -2)/(Un + 1) < 0
Et avec la seconde le calcul me semble beaucoup trop compliqué pour la question, à moins d'avoir fait une erreur.
Quelqu'un pourrait-il me mettre sur la bonne piste?
Merci d'avance !
SENS DE VARIATION SUITE RÉCURRENTE
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: SENS DE VARIATION SUITE RÉCURRENTE
Bonjour Fiona,
On demande une récurrence, donc ta méthode (signe de Un+1 - Un ) n'est pas bonne !
Donc on pose P(n) la propriété : pour tout n, Un+1 < Un (c'est-à-dire que (Un) est décroissante).
Vérifie la propriété pour n=0, puis montre l'hérédité ...
Remarque : pour montrer l'hérédité, tu auras besoin des variations de la fonction \(f(x) = \frac{4x-2}{x+1}\) car \(u_{n+1}=f(u_n)\).
SoSMath
On demande une récurrence, donc ta méthode (signe de Un+1 - Un ) n'est pas bonne !
Donc on pose P(n) la propriété : pour tout n, Un+1 < Un (c'est-à-dire que (Un) est décroissante).
Vérifie la propriété pour n=0, puis montre l'hérédité ...
Remarque : pour montrer l'hérédité, tu auras besoin des variations de la fonction \(f(x) = \frac{4x-2}{x+1}\) car \(u_{n+1}=f(u_n)\).
SoSMath
-
Fiona
Re: SENS DE VARIATION SUITE RÉCURRENTE
Je tente d'aider une personne de ma famille, mais c'est assez compliqué car je ne me souviens plus beaucoup de mes cours de lycée...
On pose P(n) la propriété : Pour tout n, Un+1 < Un, c'est à dire Un est décroissante.
Pour l'initialisation :
U0 = 3 et Un+1 = (4Un - 2) / (Un + 1) donc
U1 = 3 et U1 = 2,5
U1 < U0 donc P(n) est vérifié au rang 0.
Hérédité :
f(x) = (4x -2 ) / (x + 1)
La dérivée de f(x) est f'(x) = 6 / (x + 1)²
f'(x) est de signe positif, mais égal à 0 quand x = -1.
Donc la fonction f(x) est croissante sauf quand x = -1.
C'est à partir d'ici que je bloque... Je n'arrive pas à voir le rapport avec le fait qu'Un+1 soit croissante.
Merci pour votre aide !
On pose P(n) la propriété : Pour tout n, Un+1 < Un, c'est à dire Un est décroissante.
Pour l'initialisation :
U0 = 3 et Un+1 = (4Un - 2) / (Un + 1) donc
U1 = 3 et U1 = 2,5
U1 < U0 donc P(n) est vérifié au rang 0.
Hérédité :
f(x) = (4x -2 ) / (x + 1)
La dérivée de f(x) est f'(x) = 6 / (x + 1)²
f'(x) est de signe positif, mais égal à 0 quand x = -1.
Donc la fonction f(x) est croissante sauf quand x = -1.
C'est à partir d'ici que je bloque... Je n'arrive pas à voir le rapport avec le fait qu'Un+1 soit croissante.
Merci pour votre aide !
-
SoS-Math(25)
- Messages : 1867
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: SENS DE VARIATION SUITE RÉCURRENTE
Bonsoir Fiona,
le sens de variation de f me semble correct. Une remarque :
Pour t'avancer un peu,
Tu as donc :
\(~u_1<u_0\)
Par hypothèse de récurrence, tu as :
\(~u_n<u_{n-1}\)
Il reste à montrer que :
\(~u_{n+1}<u_{n}\) (Pense à utiliser f).
Bon courage !
le sens de variation de f me semble correct. Une remarque :
f' (et f) ne sont pas définies lorsque x=-1 (le dénominateur s'annule alors que le numérateur ne s'annule pas...)Fiona a écrit : f'(x) est de signe positif, mais égal à 0 quand x = -1.
Pour t'avancer un peu,
Tu as donc :
\(~u_1<u_0\)
Par hypothèse de récurrence, tu as :
\(~u_n<u_{n-1}\)
Il reste à montrer que :
\(~u_{n+1}<u_{n}\) (Pense à utiliser f).
Bon courage !