SOS-MATH

Bonjour, pouvez-vous m'aider svp ?

Je dois démontrer que A=3n^4 +5n +1 est pair.
J'ai commencé en parlant de la disjonction des cas :

1er cas si est n est pair : donc n=2k

A= 48k^4 +10k +1 mais je n'arrive pas à factoriser ceci par 2 pour monter que a est un multiple de 2 et donc pair... Pouvez-vous me donner des postes svp ?

De plus : (2k +1) ^4 est-il est égal à 16k^4 +1 ?

Merci de votre aide !

Bonjour Sophie,

As-tu essayé de calculer A pour des valeurs de n ?
Essaye et tu verras qu'il y a un problème dans ton exercice ....
Je pense qu'il faut montrer qu'il est impair .... et donc ta méthode est bonne !

SoSMath.

Merci de votre aide !

Si n=2 alors A=59 donc la propriété est fausse ?

Je peux ensuite montrer qu'il ne peut être pair et donc que A est impair ?

Bonjour Sophie,

Effectivement, il faudrait plutôt montrer que A est impair.

Sophie a écrit : Je peux ensuite montrer qu'il ne peut être pair et donc que A est impair ?

En effet, si A n'est jamais pair, c'est qu'il est impair.

A bientôt !

D'accord merci !
J'ai montré par disjonction de cas que A est impair quel que soit n.

Ensuite je dois montrer que A n'est pas divisible par n(n+1)

Je pensais essayer de raisonner par l'absurde. En montrant que A=Kn(n+1) n'était pas possible mais je ne sais pas comment y arriver... Qu'en pensez-vous svp ?

Bonjour
si tu sais que A est impair, alors il n'est jamais divisible par deux et donc il n'est jamais divisible par un nombre pair.
Or quelle est la particularité de \(n(n+1)\) ?
Je te laisse réfléchir en regardant pour des valeurs de \(n\)
Bon courage

Merci !
Alors n(n+1) est toujours pair.
Dois-je procéder par disjonction des cas ? Mais je n'y arrive pas ...
Si n est pair... Puis impair ...?

Merci !

Bonsoir,
\(n\) et \(n+1\) sont deux entiers consécutifs donc l'un des deux est nécessairement pair donc le produit \(n(n+1)\) contient forcément le facteur 2 donc il est pair.
Cela suffit ou on passe avec une écriture formelle \(n=2k\) donc \(n+1=2k+1\) ou bien \(n=2k-1\) et \(n+1=2k\)....?

Merci beaucoup !

Donc je dois remplacer dans l'expression de A n par les valeurs qu'il peut prendre ? N=2k et n=2k+1 ?
Ainsi, je regarde si A peut s'écrire sous la forme A=2 N(n+1) ?

Merci !

Bonsoir Sophie,

As-tu démontré que \(n(n+1)\) est pair ?

Pour la suite, il suffit de faire un raisonnement par l'absurde. Tu suppose que \(n(n+1)\) divise \(A\) et tu regardes ce que cela donne.

Bon courage.

Bonjour !

Merci beaucoup !

Alors n(n+1) été le produit de deux termes consécutifs dont l'un au moins est pair.
Donc n(n+1)= 2k (2k+1)
=2(2k^2 +k) notons K=2k^2+k avec k appartient à Z.
Est-ce correct ?

Ensuite, raisonnons par l'absurde : on suppose que n(n+1) divise A donc A =Kn (n+1) ? Et A est impair et A=2K+1
(K n'est pas égal à K au-dessus).

Comment poursuivre svp ?

Oui, Sophie ton calcul est correct.
Pour le raisonnement par l'absurde :
Tu as montrer qu'il existe K entier relatif tel que n(n + 1) = 2K
Tu ne peux pas appeler pas le même nom K de entiers différents. Prends une autre lettre p ou d ou m ...

D'acoord !

A=2P+1 et je cherche X tel que A=Xn(n+1) ? Comment poursuivre ?

Bonsoir Sophie,

Tu supposes que \(n(n+1)|A\)
Tu sais que \(n(n+1)\) est pair, exploite cette information pour aboutir sur une information (de \(A\)) que tu sais être fausse. Ainsi tu pourras dire que ton hypothèse de départ est fausse.

Bon courage.

Oui merci beaucoup !
A étant impair il ne peut être divisé par un nombre pair.