Devoir maison spécialiste maths

[Sophie]

Bonjour, pouvez-vous m'aider svp ?

Je dois démontrer que A=3n^4 +5n +1 est pair.
J'ai commencé en parlant de la disjonction des cas :

1er cas si est n est pair : donc n=2k

A= 48k^4 +10k +1 mais je n'arrive pas à factoriser ceci par 2 pour monter que a est un multiple de 2 et donc pair... Pouvez-vous me donner des postes svp ?

De plus : (2k +1) ^4 est-il est égal à 16k^4 +1 ?

Merci de votre aide !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

As-tu essayé de calculer A pour des valeurs de n ?
Essaye et tu verras qu'il y a un problème dans ton exercice ....
Je pense qu'il faut montrer qu'il est impair .... et donc ta méthode est bonne !

SoSMath.

[Sophie]

Merci de votre aide !

Si n=2 alors A=59 donc la propriété est fausse ?

Je peux ensuite montrer qu'il ne peut être pair et donc que A est impair ?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Sophie,

Effectivement, il faudrait plutôt montrer que A est impair.

Je peux ensuite montrer qu'il ne peut être pair et donc que A est impair ?

En effet, si A n'est jamais pair, c'est qu'il est impair.

A bientôt !

[Sophie]

D'accord merci !
J'ai montré par disjonction de cas que A est impair quel que soit n.

Ensuite je dois montrer que A n'est pas divisible par n(n+1)

Je pensais essayer de raisonner par l'absurde. En montrant que A=Kn(n+1) n'était pas possible mais je ne sais pas comment y arriver... Qu'en pensez-vous svp ?

[sos-math(21)]

Bonjour
si tu sais que A est impair, alors il n'est jamais divisible par deux et donc il n'est jamais divisible par un nombre pair.
Or quelle est la particularité de \(n(n+1)\) ?
Je te laisse réfléchir en regardant pour des valeurs de \(n\)
Bon courage

[Sophie]

Merci !
Alors n(n+1) est toujours pair.
Dois-je procéder par disjonction des cas ? Mais je n'y arrive pas ...
Si n est pair... Puis impair ...?

Merci !

[sos-math(21)]

Bonsoir,
\(n\) et \(n+1\) sont deux entiers consécutifs donc l'un des deux est nécessairement pair donc le produit \(n(n+1)\) contient forcément le facteur 2 donc il est pair.
Cela suffit ou on passe avec une écriture formelle \(n=2k\) donc \(n+1=2k+1\) ou bien \(n=2k-1\) et \(n+1=2k\)....?

[Sophie]

Merci beaucoup !

Donc je dois remplacer dans l'expression de A n par les valeurs qu'il peut prendre ? N=2k et n=2k+1 ?
Ainsi, je regarde si A peut s'écrire sous la forme A=2 N(n+1) ?

Merci !

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Sophie,

As-tu démontré que \(n(n+1)\) est pair ?

Pour la suite, il suffit de faire un raisonnement par l'absurde. Tu suppose que \(n(n+1)\) divise \(A\) et tu regardes ce que cela donne.

Bon courage.

[Sophie]

Bonjour !

Merci beaucoup !

Alors n(n+1) été le produit de deux termes consécutifs dont l'un au moins est pair.
Donc n(n+1)= 2k (2k+1)
=2(2k^2 +k) notons K=2k^2+k avec k appartient à Z.
Est-ce correct ?

Ensuite, raisonnons par l'absurde : on suppose que n(n+1) divise A donc A =Kn (n+1) ? Et A est impair et A=2K+1
(K n'est pas égal à K au-dessus).

Comment poursuivre svp ?

[SoS-Math(31)]

Oui, Sophie ton calcul est correct.
Pour le raisonnement par l'absurde :
Tu as montrer qu'il existe K entier relatif tel que n(n + 1) = 2K
Tu ne peux pas appeler pas le même nom K de entiers différents. Prends une autre lettre p ou d ou m ...

[Sophie]

D'acoord !

A=2P+1 et je cherche X tel que A=Xn(n+1) ? Comment poursuivre ?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Sophie,

Tu supposes que \(n(n+1)|A\)
Tu sais que \(n(n+1)\) est pair, exploite cette information pour aboutir sur une information (de \(A\)) que tu sais être fausse. Ainsi tu pourras dire que ton hypothèse de départ est fausse.

Bon courage.

[Sophie]

Oui merci beaucoup !
A étant impair il ne peut être divisé par un nombre pair.