Démonstration de l'inégalité de Bernoulli

[Sophie]

Bonjour, pouvez-vous m'aider svp ?

J'ai un devoir maison :

1. On considère la fonction f(x)=(1+x)^n : n appartient N.
a. Montrer que la fonction f est définie et derivable sur l'intervalle [0;+ l'infini [ et calculer f'(x).

J'ai calculer f'(x)= n(1+x) ^( n-1).

Mais, je ne sais pas comment montrer que la fonction est dérivable ni où elle est définie...
Avec le taux d'accroissement ?


Ensuite 2. On considère la fonction g(x)=(1+x)^n -1-nx : n appartement N privé de zéro.
a. Montrer que la fonction g est définie et dérivable sur l'intervalle [0; + l'infini [ et calculer g'(x).

g'(x)= n(1+x)^(n-1) mais je n'arrive pas non plus à prouver que g(x) est derivable, ni où elle est définie...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci beaucoup !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

Pour démontrer qu'une fonction est dérivable il faut dire qu'elle composée de fonctions usuelles qui sont dérivables ... (parfois on utilise le taux d'accroissement, mais en général c'est pour démontrer la dérivabilité en un point.)
Par exemple pour ta fonction f, elle est composée des fonctions x |----> 1+x et X|----> X^n qui sont dérivables sur IR, donc la fonction f est dérivable sur IR.
Ta dérivée de f est juste, par contre celle de g est fausse ....

SoSMath.

[Sophie]

Très bien merci beaucoup ! Donc je dis seulement ceci, je n'ai pas besoin de le prouver ?

D'accord pour f'(x) et merci pour g'(x) !

Ah oui g'(x)= n(1+x)^(n-1) -n ? Est-ce correct ?

Merci de votre aide !

[Sophie]

Pour montrer que g(x) est définie et dérivable sur IR,

g(x) est composée de fonctions usuelles, (1+x)^n dérivable sur IR et -nx dérivable sur IR donc g(x) est serviable sur IR ? Est-ce juste ?

Merci !

[SoS-Math(25)]

Bonjour Sophie,

Le calcul de g' me semble correct.

Pour montrer que g(x) est définie et dérivable sur IR,

g(x) est composée de fonctions usuelles, (1+x)^n dérivable sur IR et -nx dérivable sur IR donc g(x) est serviable sur IR ? Est-ce juste ?

"Composée" n'est pas le mot a employer je pense (il a une autre signification mathématiques). Peut-être parler de somme (ou différence) de deux fonctions ?

A bientôt !

[Sophie]

D'accord merci beaucoup !

Une dernière question je dois po prouver que g'(x) >=0 sur [0; + l'infini [ puis déterminer le tableau de variation de la fonction g.

Je ne vois pas comment démontrer saud en faisant d'abord le tableau de variations ?

[SoS-Math(25)]

Il faut donc réussir à montrer que g' est positive sur [0;+infiny[....

Le tableau de variation va venir après.

Une remarque, dans la question, n >0 donc n-1 >= 0.... Cela va t'aider à démontrer que :

\(~n(1+x)^{n-1} -n \geq 0\).

Tu peux commencer par dire que :

\(~x \geq 0\)

\(~1+x \geq ....\)

Bon courage !

[Sophie]

Merci beaucoup !

Alors, n>0
n-1>=0
Et x>0
1+x>=1
(1+x)^(n-1)>=1^(n-)
(1+x)^(n-1)>=1
n(1+x)^(n-1)>=n
n(1+x)^(n-1) -n >= n-n >=0

Donc g'(x)>= 0
Est-ce correct et suffisant ?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Sophie,

Cela me semble correct pour le signe de g'.

A bientôt !

[Sophie]

Très bien, merci beaucoup de votre aide !