SOS-MATH

Bonjour, alors voilà. Nous avons un dm à faire et malheureusement je "bloque" sur une question. (En fait j'ai réussi à trouver quelque chose, mais je ne suis pas du tout sûre du résultat).
Nous avons donc Un=5^n/n!
Or voici la question qui bloque:
A l'aide d'un raisonnement par récurrence sur n, démontrer que: pour tout entier n supérieur ou égal à 5 0<=Un<=(5/6)^(n-5)*U5. Puis en déduire la limite de (Un).
Sachant que grâce aux questions précédentes, on sait que la suite est décroissante à partir du rang 5 et que Un+1/Un<=5/6 pour tout entier n supérieur ou égal à 5.

Voici donc mon raisonnement (sans l'hérédité):
Pour tout entier n>=5
Si P(n) vraie
Alors 0<=Un<=(5/6)^(n-5)*U5
Alors 0<=5^n/n!<=(5/6)^(n-5)*U5
alors 0<=5^n*5/n!<=(5/6)^(n-5)*U5*5
Alors 0<=(5^n*5/n!)*(1/(n+1))<=(5/6)^(n-5)*U5*5*(1/(n+1))
Alors 0<=5^n*5/(n!*(n+1))<=(5/6)^(n-5)*U5*(5/(n+1))
Or (5/(n+1))=(Un+1)/Un<=5/6 et P(n+1) serait égal à 0<=Un<=(5/6)^(n-4)*U5 alors on a:
0<=5^n*5/(n!*(n+1))<=(5/6)^(n-5)*U5*(5/(n+1))<=(5/6)^(n-4)*U5

Donc P(n) vraie implique P(n+1) vraie etc..
Donc pour tout entier n>=5, 0<=Un<=(5/6)^(n-5)*U5

J'ai un petit doute sur la méthode, en particulier au niveau des encadrements. Est ce bon si je fais comme cela ?
Merci d'avance, bonnes soirée!

Bonjour,
tes calculs sur les encadrements sont corrects étant donné que tu multiplies par des nombres positifs.
Tu peux améliorer la présentation en disant que \(u_{n+1}=u_n\times \frac{5}{n+1}\) et multiplier directement l'encadrement sur \(u_n\) par \(\frac{5}{n+1}\) pour obtenir l'encadrement sur \(u_{n+1}\)
Je te laisse rédiger

D'accord! Je vais faire ça alors.
Merci beaucoup!

Merci beaucoup!

Bon maintenant je bloque sur la limite du coup..
Je n'arrive pas à trouver la limite de (5/6)^(n-5)*U5.. Est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

q\(^{n}\) tend vers 0 quand 0 < q < 1
donc (5/6)\(^{n-5}\) tend vers 0 donc multiplier par u5 cela reste 0.

Ha oui! Merci bien!

Bonne soirée Kristal