Matrice (spé maths)

[Persi]

Bonjour,

Nous sommes des élèves de terminale S (spécialité maths) et nous avons un exercice à faire où nous sommes bloqués à la question n°2.
Voici l'énoncé :
1)Soit
A=(-1 -1)
(1 0)
Calculer les matrices A², A^3 et A^4.
2) En déduire les éléments de la matrice A^n en fonction de n pour tout entier n supérieur ou égal à 1.

Voici nos réponses :
1) A²=(0 1)
(-1 -1)

A^3=(1 0)
(0 1)

A^4=(-1 -1)
(1 0)

2) On a remarqué qu'on a 4 suites telles que :
a1,1 : -1;0;1;-1
a1,2 : -1;1;0;-1
a2,1 : 1;-1;0;1
a2,2 : 0;-1;1;0

On observe qu'il y a une "boucle" avec les coefficients des matrices, ainsi qu'avec les matrices elles-mêmes, en effet A^n=A^(n+3) (car A^1=A^4, etc ce qu'on a observé en ayant calculé les matrices de A^5 à A^8).

On a essayé de trouver des expressions notamment en utilisant la trigonométrie.
Exemple avec cos(Pi)+(n*Pi)/2.
Pour n=1 on obtient -1
n=2 on obtient 0
n=3 on obtient 1
n=4 on obtient 0
et ainsi nous avons essayé plusieurs expressions mais nous n'avons pas réussi.

Pourriez-vous nous aider s'il vous plait à trouver une méthode ?
Merci beaucoup.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Persi

Regarde de plus près ce que tu peux dire de A^3. Cela devrait te donner une idée pour l'expression de A^n en fonction du reste de la division euclidienne de n par 3.

Je te laisse réfléchir.

[Persi]

Bonsoir,

J'ai remarqué que la matrice A^3 est la matrice identité I2. Grâce à votre aide, j'ai réussi à calculer les expressions des coefficients de la matrice A^n en utilisant le reste de la division euclidienne de n par 3. Par contre, je ne vois pas comment je peux écrire ce reste de façon mathématique étant donné que le quotient de chaque division de n par 3 change à chaque fois.

J'aimerais bien aussi savoir comment vous avez su qu'il fallait utiliser le reste de la division de n par 3 afin de pouvoir justifier.

Merci beaucoup pour votre aide.

[SoS-Math(31)]

Si A^3 = I alors A^(3n) = I pour tout n>0 alors si k =3n + r alors A ^k = A^(3n + r)=A^(3n) * A^r = A^r.

[Persi]

D'accord, merci pour votre aide.

[SoS-Math(31)]

Bonne continuation Persi.