SOS-MATH

Bonjour. Je galère a faire un exercice, voilà l'énoncé :
Démontrer que pour tout entier naturel non nul n :
An=(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n) est divisible par 2^n.
Je sais pas comment précéder pour le démontrer (Récurrence ou autre) mais au delà de ça je comprends pas l'égalité. Comment on passe de (n+2) a (2n-1).

Merci, bonne journée :) !

Bonjour Paul,
*Dans An on ne passe pas du facteur n + 2 à 2n - 1 !
En fait :
Pour un entier n fixé, An est la somme des entiers consécutifs qui commence à n+ 1 et fini par 2n
L'entier qui précédent 2n est 2n - 1.
Oui, tu peux procéder par récurrence.

Je sais qu'on ne passe pas de l'un a l'autre mais j'ai du mal a comprendre d'ou vien le (2n) sacahnt qu'on est parti avec n seul.
C'est une somme de somme ? C'est comme si :
S1 = (n+1)(n+2)...(n+n)
S2 = (2n-n)...(2n-1)(2n)
Et S1xS2 = An ? Somme des n et somme des 2n ? Je pense que ce que je dis est complètement faux mais c'est comme sa que je vois la suite An.
En gros je comprends pas An.
Une somme qui commence par n puis fini pas 2n, j'arrive pas à saisir.
Est-ce que malgré cette incompréhension je peux réussi la récurrence ?
Merci :) !

A1, c'est en fait S1.
S2 n'intervient pas dans cet exercice.
Exemples : pour n= 3, A3 = 4 * 5 * 6 et pour n = 4, A4 = 5 * 6 * 7*8

Il faut montrer que An = k2^n ?

là par contre pour l'initialisation, je suis bloqué. Comment calculer pour n=1 ?

J'ai compris pour le n=1.
Je suis étourdi

J'ai commencé l’hérédité.
(...)
Montrons que cette propriété est vraie au rang n+1.
[C'est à dire que (n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)(2n+2)=k*2^(n+1).
Est-ce correct ?
Comment procéder pour la suite ?

Bonsoir Paul,

Il faut absolument que tu écrives ces nombres avec rigueur ; d'autant plus que tu as rencontré des difficultés à bien comprendre la formation de ces nombres...
Ton hypothèse de récurrence est : \(2^n\) divise \(A_n\).
Tu veux démontrer alors que \(2^{n+1}\) divise \(A_{n+1}\).
Commence par écrire le nombre \(A_{n+1}\). Prends le temps de bien écrire les premiers facteurs ainsi que d'écrire les 3 ou 4 derniers facteurs.

A bientôt

Je vois pas ou je me suis trompé pour An+1...

Bonsoir Paul,

ll n'y a pas d'erreur dans l'écriture de ton nombre \(A_{n+1}\). Par contre, il faut démontrer qu'il est divisible par \(2^{n+1}\). Il faut donc démontrer qu'il existe \(k\in \mathbb{Z}\) tel que \(A_{n+1}=k2^{n+1}\). Tu as bien écrit ce qui est à démontrer, il ne te reste qu'à faire cette démonstration...
Comme pour toute récurrence, il faut que tu parviennes à retrouver le nombre \(A_n\) dans l'écriture du nombre \(A_{n+1}\)

Je te laisse réfléchir.