Recurrence et suite

[Mathilde]

Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire, je l'ai fais et je voulais savoir si c'était bon :
L'énoncé: La suite (Un) est définie pour tout entier naturel par Un+1=(Un)/(3-2Un) et U0=-1

1)a) Calculer U1 puis U2.
b)Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un est différent de 0
c) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un est différent de 1.

Mes réponses: 1a)U1= (U0)/(3-2U0)=-(1/5) et U2= (U1)/(3-2U1)= -(1/17)

1b) Initialisation: Pour n=0 , U0=-1 différent de 0. La propriété est vraie pour n=0.
Hérédité: Je suppose qu'il existe un rang k pour lequel la propriété est vraie c'est à dir Uk différent de 0. Je dois montrer que la propriété est vraie au rang suivant k+1 c'est à dire Uk+1 différent de 0.
Uk+1 différent de 0 = (Uk)/(3-2Uk) différent de 0
= Uk différent de 0 et 3-2Uk différent de 0
= Uk différent de 0 et 3 différent de 0 ou 2Uk différent de 0
Conclusion: la propriété est vraie pour n=0. La propriété est héréditaire. Donc d'après l'axiome de récurrence, la proopriété est vraie pour tout entier natuel n.

1c) Initialisation: pour n=0 , U0=-1 différent de 1. La propriété est vraie pour n=0.
Hérédité: Je suppose qu'il existe un rang k pour lequel la propriété est vraie c'est à dir Uk différent de 1. Je dois montrer que la propriété est vraie au rang suivant k+1 c'est à dire Uk+1 différent de 1.
Uk+1 différent de 1 = (Uk)/(3-2Uk) différent de 1
= Uk différent de (3-2Uk)
= Uk-2Uk différent de 3
=Uk différent de -3
Conclusion: la propriété est vraie pour n=0. La propriété est héréditaire. Donc d'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier natuel n.

[SoS-Math(31)]

Bonjour Mathilde,
a) c'est bien
b) Hérédité : Attention remplacer certains symboles d'égalité par des équivalences. De plus ton raisonnement est faux " 3 non nul et 2uk non nul n'implique pas 3 - 2uk non nul" car si 2uk = 3 alors 3 - 2uk = 0.
c) uk différent de 3 - 2uk implique uk + 2uk différent de 3 "erreur de signe". De plus 3 - 2uk doit être non nul