SOS-MATH

Bonsoir, pourriez s'il vous plaît m'expliquer le raisonnement par récurrence car je suis totalement perdue... Je sais que je dois avoir la partie initialisation puis hérédité. Je me trompe déjà à l'initialisation. Je n'arrive pas du tout à l'hérédité. Je ne sais jamais quoi mettre au départ et ce que je dois développer.. pouvez vous m'expliquer le raisonnement que je dois appliquer pour n'importe quelle suite ? Merci

Bonjour,
normalement, tu as un prof de maths et il sert à cela :)
Je t'envoie juste sur un cours en ligne : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/ar ... h1_01.html
Regarde le et fais les exercices demandés.
Si tu as toujours des problèmes, renvoie nous un message.
Bon courage

Bonjour,

Mon professeur nous l'a pas expliqué et quand il essaie je ne comprend pas...
Par exemple avec cet exercice :

Démontrez que pour tout entier naturel n ≥ 2 , 3n² ≥ (n + 1)²

Ma rédaction :

Soit (Pn) la proposition pour n € N , 3n² ≥ (n + 1) ²

Initialisation : pour n= 2

3 x 2^2 = 12
(2+ 1 ) ^ 2 = 9
Donc : 12≥ 9
( P2) est vraie.

Hérédité : Supposons qu'il existe un entier naturel k tel que (Pk) est vraie. C'est à dire : 3k^2 ≥ (k+1)^ 2

Montrons que (Pk+1) est vraie.

3(k+1)^2 ≥ (k+1+1) ^2
3(k+1)^2 ≥v(k+2) ^2

(Pk+1) est vraie.


Je sais que mon hérédité est fausse. Mais je ne comprends pas pourquoi... Qu'aurai du je faire ?

Merci.

Bonjour Mama,
Dans l'hérédité, tu as choisi un entier naturel k tel que 3k² \(\geq\)(k+1)².

Ton but est de montrer alors que 3(k+1)² \(\geq\) (k+1+1)²

Tu dois transformer 3(k+1)² pour pouvoir utiliser l'hypothèse de récurrence 3k² \(\geq\)(k+1)².

3(k+1)² = 3(k² + 2k + 1) = 3k² + 6k + 3 alors d'après l'hypothèse de récurrence 3(k + 1)² \(\geq\)(k+1)² + 6k + 3.

Or (k+1 + 1)² = (k+1)² + 2 (k+1 + 1 = (k+1)² + 2k + 3
Comme k est un entier naturel, 6k > 2k donc 3(k+1)² \(\geq (k+2)²\)

Bonsoir,
Je n'ai pas compris pourquoi vous avez ajouté 6k+3 à (k+1)^2

Bonsoir,
on se base sur l'hypothèse de récurrence
tu as obtenu ar développement que \(3(k+1)^2=3k^2+6k+3\) or d'après cette hypothèse, \(3k^2\geqslant (k+1)^2\)
donc \(3(k+1)^2=\underbrace{3k^2}_{\geqslant (k+1)^2}+6k+3\) donc \(3(k+1)^2\geqslant (k+1)^2+6k+3\)
Est-ce plus clair ?

Oui donc en fait le signe supérieur ou égal était ici un = (si on résume?)
Merci

En fait l'égalité te permet de mettre en avant un des termes dont tu sais qu'il est supérieur à \((k+1)^2\).
Donc l'égalité et la relation de récurrence te permettent d'aboutir à une inégalité.

Je viens de le refaire à l'instant et à l'hérédité :
3 (k+1)^2 = 3 (k^2 + 2k + 1) ≥ (k + 2) ^ 2

Je ne comprends pas ton dernier message....

Mon hérédité commence par :

3 (k + 1 ) ^2 ≥ (k + 1 + 1 ) ^2

Mama,
Reprends le message de ma collègue :

SoS-Math(31) a écrit :Bonjour Mama,
Dans l'hérédité, tu as choisi un entier naturel k tel que 3k² ≥(k+1)².

Ton but est de montrer alors que 3(k+1)² ≥ (k+1+1)²

Tu dois transformer 3(k+1)² pour pouvoir utiliser l'hypothèse de récurrence 3k² ≥(k+1)².

3(k+1)² = 3(k² + 2k + 1) = 3k² + 6k + 3 alors d'après l'hypothèse de récurrence 3(k + 1)² ≥(k+1)² + 6k + 3.

Or (k+1 + 1)² = (k+1)² + 2 (k+1 + 1 = (k+1)² + 2k + 3
Comme k est un entier naturel, 6k > 2k donc 3(k+1)² ≥(k+2)²

Pars de \(3(k+1)^2=3k^2+6k+3\), majore le \(3k^2\) par \((k+1)^2\) de sorte que \(3(k+1)^2\geqslant (k+1)^2+6k+3\) puis majore encore ce dernier terme en reprenant ce que t'a dit ma collègue :
\(3(k+1)^2\geqslant (k+1)^2+6k+3\geqslant (k+1)^2+2k+3\) qui est égal à \((k+2)^2\)
Je te laisse terminer