SOS-MATH

Bonjour

Dans mon dm on me demande si l'aire du rectangle OPMQ est constante quelle que soit la position du point M sur Cf. On sait qu'à tout point M appartenant à Cf on associe le point P projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses et le point Q projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées. On a f(x)=2-ln(x/2)

Merci de bien.vouloir m'aider car je.ne sais.pas.comment faire

Bonsoir Sarah,

M a pour coordonnées (x;f(x)) car M est sur la courbe de f.
Quelle est en fonction de x la longueur OP ? et OQ ?
Avec cela tu vas pouvoir trouver l'aire du rectangle OPMQ.

SoSMath.

Bonjour

Donc OP = x et OQ = f(x) ?
Donc Aire(OPMQ)= 2x - ln (x/2)x ?
Dans ce cas là l'aire du rectangle n'est pas constante quelle que soit la position du point M sur Cf car ça dépend de la valeur de x. C'est ça ?

Et ensuite on me demande si l'aire OPMQ peut être maximale. Et si oui quels sont les coordonnées du point M correspondant

Merci de m'aider

Oui, l'aire du rectangle n'est pas constante, elle dépend de x.
Pour avoir son maximum, il faut étudier les variations, en calculant la dérivée et en étudiant son signe.

à bientôt

D'accord merci

Je suis bloquée au niveau de la dérivée de l'aire.
[ln(u(x))]'= u'(x)/u(x)
J'ai posé u(x)= (x/2)x soit x au carré / 2. Est-ce faux? J'hésite avec seulement x/2
...
Sinon ça me fait u'(x)=x
Puis au final je trouve (aire)'= 2 - 2/x

Merci de m'aider

Bonjour,
l'aire de ton rectangle est donnée par \(f(x)=x\times(2-\ln\left(\frac{x}{2}\right))\)
Cette fonction est de la forme \(u\times v\), avec \(u(x)=x\), \(v(x)=2-\ln\left(\frac{x}{2}\right)\)
tu as \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=-\frac{\left(\frac{x}{2}\right)'}{\frac{x}{2}}=...\)
Je te laisse terminer ce calcul de dérivée. En tout cas, l'aire n'est pas constante car la dérivée n'est pas nulle.
Bonne continuation

Donc au final j'ai f'(x)= 2-ln(x/2)-x au carré ?
Pour les variations je ne sais pas comment faire car le ln x/2 est dérangeant

Non,
tu dois utiliser la formule de la dérivée d'un produit : \((uv)'=u'v+uv'\)
Tu dois obtenir à la fin \(f'(x)=1-\ln\left(\frac{x}{2}\right)\).
Tu auras ensuite le signe de la dérivée en résolvant l'inéquation \(1-\ln\left(\frac{x}{2}\right)\geq 0\) soit \(\ln\left(\frac{x}{2}\right)\leq 1\) et en prenant l'exponentielle dans chaque membre,.....
Bonne continuation

Oui j'ai bien utilisé à la fin la formule u'x v + u x v'.
Seulement j'ai v'(x)= -x peut-être que mon erreur vient de là

Pour obtenir v'(x)=-x j'ai fais votre formule c'est-à-dire u'/u. En u'(x) j'obtiens 1/2. Et jai u(x)=x/2
Soit - (1/2)/(x/2) = - 1/2 x 2/x = -2/2x = -x

Tu dois avoir :
\(v'(x)=-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}\) et on multiplie numérateur et dénominateur par 2 ce qui donne \(v'(x)=-\frac{1}{x}\).
Reprends cela.

Ah ça y est j'ai trouvé l'erreur merci
Donc finalement, l'aire du rectangle peut être maximale lorsque x est inférieur ou égal à 2, c'est ça?

Non,
Comme il est dit dans un message précédant, il faut résoudre \(ln( \frac{x}{2} ) \leq 1\) pour déterminer le signe de la dérivée.
A toi d'utiliser la fonction exponentielle !
à bientôt