Géométrie dans l'espace

[Sarah]

Bonjour.

Comment fait-on pour passer d'une équation paramétrique de plan, du style :
x = xA + at + a't'
y = yA + bt + b't'
z = zA + ct + c't'

où P est le plan passant par le point A et de vecteurs directeurs (a;b;c) et (a';b';c'). En fait, je voudrais trouver un vecteur normal du plan à partir des vecteurs directeurs mais je ne sais pas comment on fait.

Merci par avance !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sarah,

Il faut trouver un vecteur normal \(\vec{n}\) aux deux vecteurs "directeurs" \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan.
Donc il faut résoudre le système
\(\vec{n}\).\(\vec{u}\) = 0
\(\vec{n}\).\(\vec{v}\) = 0.

SoSMath.

[Sarah]

Par exemple, j'ai la représentation paramétrique de P :
x = 1 + t - s
y = -2 - t + s
z = 2t - s

Je donne deux vecteurs directeurs :
vecteur u(1;-1;2) et vecteur v(-1;1;-1)
Et vecteur n(à;b;c) un vecteur normal du plan.

Je résous alors :
n.u = a - b + 2c
n.v = -a + b - c

Mais je suis bloquée car je trouve c = 0 et b = a mais ça ne me donne aucune information sur les valeurs de a et b...

[SoS-Math(9)]

Sarah,

il faut choisir une valeur quelconque pour a donc pour b ...
par exemple a=1, donc b=1.

Donc \(\vec{n}\) a pour coordonnées (1,1,0).
Tu peux vérifier que cela convient.

SoSMath.

[Sarah]

Je peux prendre n'importe quelle valeur pour a ? C'est parce que c'est une direction, non ?

[sos-math(27)]

Exactement, un vecteur orthogonal à un plan indique une direction. Tu peux donner à B une valeur et donc cela impliquera la valeur de a correspondante.
à bientôt !