SOS-MATH

Bonjour,
N'étant pas du tout doué en maths, je me retrouve complètement bloqué face à un exercice. Dont voici l'énoncé:

Soit une fonction f définie sur l'intervalle [1;10] par f(x)= \(10/ln(2x+3)\)
1/Justifier que la fonction f est définie sur [1;10]
2/Déterminer la fonction dérivée de f et étudier le signe de f'(x)
3/Dresser le tableau de variation de f sur [1;10]
4/ Résoudre algébriquement l'inéquation f(x)≥3.5

Voici ce que j'ai fait:
1/La fonction ln(x) étant définie comme continue et dérivable sur ]0;+∞[
donc ln(2x+3) définie sur sur ]0;+∞[
Mais je suis pas sur, je vois pas comment faire pour justifier que f est définie sur [1;10] !!

2/Fonction dérivée de f(x)= \(10/ln(2x+3)\)
=> \(u/v = u'.v-u.v'/v²\)
avec u=10 u'=0
v= ln(2x+3) v'=2
et v²=ln(2x+3)²
Donc f'(x)= \((0*ln(2x+3)-10*2)/ln(2x+3)²\)
Soit f'(x)= \(-20/ln(2x+3)²\)
On en déduit donc que f'(x) est négative sur l'intervalle [1;10]

3/ On obtient ainsi le tableau de variation suivant: voir fichier joint
f(1)= 10/ln(5)~6.2133
f(10)= 10/ln(23)~3.1892


Je suis vraiment pas sur de moi!!
Un grand merci d'avance pour votre aide!

Thomas a écrit :Bonjour,
N'étant pas du tout doué en maths, je me retrouve complètement bloqué face à un exercice. Dont voici l'énoncé:

Soit une fonction f définie sur l'intervalle [1;10] par f(x)= \(10/ln(2x+3)\)
1/Justifier que la fonction f est définie sur [1;10]
2/Déterminer la fonction dérivée de f et étudier le signe de f'(x)
3/Dresser le tableau de variation de f sur [1;10]
4/ Résoudre algébriquement l'inéquation f(x)≥3.5

Voici ce que j'ai fait:
1/La fonction ln(x) étant définie comme continue et dérivable sur ]0;+∞[
donc ln(2x+3) définie sur sur ]0;+∞[
Mais je suis pas sur, je vois pas comment faire pour justifier que f est définie sur [1;10] !!

Il faut que tu justifies que \(2x+3\) est positif sur ton intervalle

Thomas a écrit :
2/Fonction dérivée de f(x)= \(10/ln(2x+3)\)
=> \(u/v = u'.v-u.v'/v²\)
avec u=10 u'=0
v= ln(2x+3) v'=2

Non ta dérivée v' est fausse et donc il faut revoir tout ce qui suit.
Regarde cette vidéo pour apprendre ton cours

Thomas a écrit : et v²=ln(2x+3)²
Donc f'(x)= \((0*ln(2x+3)-10*2)/ln(2x+3)²\)
Soit f'(x)= \(-20/ln(2x+3)²\)
On en déduit donc que f'(x) est négative sur l'intervalle [1;10]

3/ On obtient ainsi le tableau de variation suivant: voir fichier joint
f(1)= 10/ln(5)~6.2133
f(10)= 10/ln(23)~3.1892


Je suis vraiment pas sur de moi!!
Un grand merci d'avance pour votre aide!

Ah d'accord, un grand merci pour votre aide.
Du coup, je pense avoir trouvé, ça me fait:

1/ /Fonction ln(x) définie comme continue et dérivable sur ]0;+∞[
donc, on cherche à montrer que \(2x+3\) est positif
\(2x+3=0\)
\(x=-1.5\)
\(2x+3\) est donc positif sur l'intervalle.
Ainsi la fonction f(x) est définie sur [1;10]

2/ Fonction dérivée de f(x)= \(10/ln(2x+3)\)
=> u/v= (u′.v−u.v′)/v²
avec u=10 u'=0
v= ln(2x+3) v'=1/x et v²=ln(2x+3)²
Donc
f'(x)= \((0∗ln(2x+3)−10∗(1/x))/ln(2x+3)²\)
f'(x)= \(-10*(1/x)/ln((2x+3)²\)
Soit f'(x)= (−10/x)/ln(2x+3)²
On en déduit donc que f'(x) est négative sur l'intervalle [1;10]

3/ f(x) est décroissante sur l'intervalle [1;10]

4/ Résoudre algébriquement l'inéquation f(x)≥3.5
f(x)≥3.5
10/ln(2x+3)≥3.5
Par contre je re-bloque ici.


Merci d'avance pour votre aide

Pour la dernière question, il faut "isoler" le logarithme puis utiliser la fonction exponentielle :
Si \(2x+3>0\) , \(\ln (2x+3) >b\) équivaut à \(2x+3>\text{e}^b\)

sos-math(28) a écrit :Pour la dernière question, il faut "isoler" le logarithme puis utiliser la fonction exponentielle :
Si \(2x+3>0\) , \(\ln (2x+3) >b\) équivaut à \(2x+3>\text{e}^b\)

Ok, alors ça fait:

\(f(x)≥3.5\)
\(10/ln(2x+3)≥3.5\)
\(ln(2x+3)/10≥10/3.5\)
\(ln(2x+3)≥2.85\)
e^ln(2x+3)≥ e^(2.85)
\(2x+3≥17.29\)
\(2x≥14.29\)
\(x≥7.145\)

Donc sur l'intervalle [1;10], l'inéquation\(f(x)≥3.5 =>\) S={1;7}

C'est bien ça? ou j'ai encore fait une erreur?
Merci pour votre aide.

Bonjour Thomas,

Le raisonnement est correct mais :

Il y a une erreur dans tes inégalités :

1/4 < 1/3 mais 4>3 .....

Aussi, l'ensemble solution n'est pas exact. Il faut un intervalle précis.

A bientôt