Etude d'une fonction

[Thomas]

Bonjour,
N'étant pas du tout doué en maths, je me retrouve complètement bloqué face à un exercice. Dont voici l'énoncé:

Soit une fonction f définie sur l'intervalle [1;10] par f(x)= \(10/ln(2x+3)\)
1/Justifier que la fonction f est définie sur [1;10]
2/Déterminer la fonction dérivée de f et étudier le signe de f'(x)
3/Dresser le tableau de variation de f sur [1;10]
4/ Résoudre algébriquement l'inéquation f(x)≥3.5

Voici ce que j'ai fait:
1/La fonction ln(x) étant définie comme continue et dérivable sur ]0;+∞[
donc ln(2x+3) définie sur sur ]0;+∞[
Mais je suis pas sur, je vois pas comment faire pour justifier que f est définie sur [1;10] !!

2/Fonction dérivée de f(x)= \(10/ln(2x+3)\)
=> \(u/v = u'.v-u.v'/v²\)
avec u=10 u'=0
v= ln(2x+3) v'=2
et v²=ln(2x+3)²
Donc f'(x)= \((0*ln(2x+3)-10*2)/ln(2x+3)²\)
Soit f'(x)= \(-20/ln(2x+3)²\)
On en déduit donc que f'(x) est négative sur l'intervalle [1;10]

3/ On obtient ainsi le tableau de variation suivant: voir fichier joint
f(1)= 10/ln(5)~6.2133
f(10)= 10/ln(23)~3.1892


Je suis vraiment pas sur de moi!!
Un grand merci d'avance pour votre aide!

[sos-math(28)]

Bonjour,
N'étant pas du tout doué en maths, je me retrouve complètement bloqué face à un exercice. Dont voici l'énoncé:

Soit une fonction f définie sur l'intervalle [1;10] par f(x)= \(10/ln(2x+3)\)
1/Justifier que la fonction f est définie sur [1;10]
2/Déterminer la fonction dérivée de f et étudier le signe de f'(x)
3/Dresser le tableau de variation de f sur [1;10]
4/ Résoudre algébriquement l'inéquation f(x)≥3.5

Voici ce que j'ai fait:
1/La fonction ln(x) étant définie comme continue et dérivable sur ]0;+∞[
donc ln(2x+3) définie sur sur ]0;+∞[
Mais je suis pas sur, je vois pas comment faire pour justifier que f est définie sur [1;10] !!

Il faut que tu justifies que \(2x+3\) est positif sur ton intervalle

2/Fonction dérivée de f(x)= \(10/ln(2x+3)\)
=> \(u/v = u'.v-u.v'/v²\)
avec u=10 u'=0
v= ln(2x+3) v'=2

Non ta dérivée v' est fausse et donc il faut revoir tout ce qui suit.
Regarde cette vidéo pour apprendre ton cours

et v²=ln(2x+3)²
Donc f'(x)= \((0*ln(2x+3)-10*2)/ln(2x+3)²\)
Soit f'(x)= \(-20/ln(2x+3)²\)
On en déduit donc que f'(x) est négative sur l'intervalle [1;10]

3/ On obtient ainsi le tableau de variation suivant: voir fichier joint
f(1)= 10/ln(5)~6.2133
f(10)= 10/ln(23)~3.1892


Je suis vraiment pas sur de moi!!
Un grand merci d'avance pour votre aide!

[Thomas]

Ah d'accord, un grand merci pour votre aide.
Du coup, je pense avoir trouvé, ça me fait:

1/ /Fonction ln(x) définie comme continue et dérivable sur ]0;+∞[
donc, on cherche à montrer que \(2x+3\) est positif
\(2x+3=0\)
\(x=-1.5\)
\(2x+3\) est donc positif sur l'intervalle.
Ainsi la fonction f(x) est définie sur [1;10]

2/ Fonction dérivée de f(x)= \(10/ln(2x+3)\)
=> u/v= (u′.v−u.v′)/v²
avec u=10 u'=0
v= ln(2x+3) v'=1/x et v²=ln(2x+3)²
Donc
f'(x)= \((0∗ln(2x+3)−10∗(1/x))/ln(2x+3)²\)
f'(x)= \(-10*(1/x)/ln((2x+3)²\)
Soit f'(x)= (−10/x)/ln(2x+3)²
On en déduit donc que f'(x) est négative sur l'intervalle [1;10]

3/ f(x) est décroissante sur l'intervalle [1;10]

4/ Résoudre algébriquement l'inéquation f(x)≥3.5
f(x)≥3.5
10/ln(2x+3)≥3.5
Par contre je re-bloque ici.


Merci d'avance pour votre aide

[sos-math(28)]

Pour la dernière question, il faut "isoler" le logarithme puis utiliser la fonction exponentielle :
Si \(2x+3>0\) , \(\ln (2x+3) >b\) équivaut à \(2x+3>\text{e}^b\)

[Thomas]

Pour la dernière question, il faut "isoler" le logarithme puis utiliser la fonction exponentielle :
Si \(2x+3>0\) , \(\ln (2x+3) >b\) équivaut à \(2x+3>\text{e}^b\)

Ok, alors ça fait:

\(f(x)≥3.5\)
\(10/ln(2x+3)≥3.5\)
\(ln(2x+3)/10≥10/3.5\)
\(ln(2x+3)≥2.85\)
e^ln(2x+3)≥ e^(2.85)
\(2x+3≥17.29\)
\(2x≥14.29\)
\(x≥7.145\)

Donc sur l'intervalle [1;10], l'inéquation\(f(x)≥3.5 =>\) S={1;7}

C'est bien ça? ou j'ai encore fait une erreur?
Merci pour votre aide.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Thomas,

Le raisonnement est correct mais :

Il y a une erreur dans tes inégalités :

1/4 < 1/3 mais 4>3 .....

Aussi, l'ensemble solution n'est pas exact. Il faut un intervalle précis.

A bientôt