ln

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lili

ln

Message par lili » mer. 9 mars 2016 07:35

bonjour,
pourriez vous m'aider
On appelle f et g les deux fonctions définies sur l'intervalle [0,+[ par:
f(x)= ln(1+x)-x et g(x)=ln(1+x)-x+(x²/2)
1) Etudier les variations de f et g sur l'intervalle [0,+[
2)En déduire que pour tout x supérieur =0, x-(x²/2) <=ln(1+x)x

B)On se propose d'étudier la suite numérique (Un) définie par: U1=3/2 et un+1 = Un (1+(1/2^n+1))
1) Montrer par récurrence que Un >0 pour tout entier naturel supérieur à 1
2) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur à 1:
ln(Un)=ln(1+(1/2))+ln(1+(1/2²)+...+ln(1+(1/2^n))
3)On pose Sn= 1/2+1/2²+1/¨2^3+...+1/2^n et Tn= 1/4+1/4²+1/4^3+...+1/4^n.
A l'aide de la première partie, montrer que:
Sn-1/2Tnln UnSn
4) Calculer Sn et Tn en fonction de n. En déduire lim Sn et lim Tn
5) Etude la convergence de la suite (Un)
a) Montrer que la suite (Un) est strictement croissante.
b)En déduire que (Un) est convergente. Soit l sa limite.
c) On admet le résultat suivant: "si deux suite (Vn) et (Wn) sont convergente et telles que Vn <=Wn pour tout entier naturel n, alors lim Vn <=lim Wn" n tend vers + infini
Montrer alors que 5/6<= ln<= l1, et en déduire un encadrement de l.

j'ai calculé f'(x)= -x/1+x
f(x) est decroissante
mais pur notre professeur nous devons toujours mettre la limite là j'ai trouvé f(x) = - infini

est ce correcte

pour g
g'(x)=x²/1+x
g(x) est croissante
je suis bloqué pour la limite

lim de ln(1+x)-x=- infini

lim de x²/2= + infini

pouvez vous m'aider svp merci
sos-math(20)
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Re: ln

Message par sos-math(20) » mer. 9 mars 2016 17:21

Bonjour Lili,

Ce que vous avez fait est correct.

Pour la limite de g en \(+\infty\), vous pouvez factoriser x afin qu'il n'y ait plus de forme indéterminée.

Bon courage

SOSmath
lili

Re: ln

Message par lili » mer. 9 mars 2016 18:43

re bjr
j'ai fait lim (1+x)((ln(1+x)/1+x)-(x/1+x))+(x²/2)
x->+inf
lim (1+x)((ln(1+x)/1+x)-(1/((1+x)+1))+(x²/2)
x->+inf

lim 1+x=+inf
x->+inf
lim ln(1+x)/1+x=0
x->+inf
lim (-1/((1/x)+1)=-1
x->+inf
lim x²/2 =+inf
x->+inf

donc lim g(x)=+inf
x->+inf
est ce correct
merci
sos-math(20)
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Re: ln

Message par sos-math(20) » mer. 9 mars 2016 22:08

Le résultat final est correct mais il reste une forme indéterminée non élucidée dans tes calculs.

SOSmath
lili

Re: ln

Message par lili » jeu. 10 mars 2016 06:47

pouvez vous m'aider car je m'arrive pas à faire le calcul pour enlever la forme indeterminéé et trouver + infini

merci beaucoup
lili

Re: ln

Message par lili » ven. 11 mars 2016 11:07

bonjour,

pouvez m'aider car je trouve pas la partie qui est forme indetermine dans mon calcul
lim 1+x=+inf
x->+inf
lim ln(1+x)/1+x=0
x->+inf
lim (-1/((1/x)+1)=-1
x->+inf
lim x²/2 =+inf
x->+inf

donc lim g(x)=+inf
x->+inf
est ce correct
merci
lili

merci
SoS-Math(25)
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Re: ln

Message par SoS-Math(25) » ven. 11 mars 2016 18:20

Bonjour Lili,

La forme indéterminée est peut-être ln(1+x)/(1+x) ? Comment trouves-tu cette limite ?

A bientôt
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