SOS-MATH

Bonjour !
Voila je bloque sur mon dm! on me demande dans un exo de calculer le module et l'argument de 1−e^(iθ) et honnetement même si j'ai une piste pour le module j'en suis pas sûr du tout ! si quelqu'un pourrait m'aider !

Merci de votre aide !

Bonjour Thibault,

Quelle piste avez-vous trouvée pour calculer le module ?

SOSmath

Bonjour,
j'ai transformé ma forme de départ pour obtenir (1-cos(theta)) + (-isin(theta))
et j'obtiens avec la formule du module sqrt(2-2cos(theta))
Merci !

Re-Bonsoir Thibault,

C'est très bien, même si cette expression du module peut être simplifiée en utilisant les formules de trigonométrie : tu verras cela avec ton professeur.

Pour trouver un argument de z, il va falloir commencer par écrire z sous une autre forme : \(1-e^{i \Theta}=e^{i \frac{\Theta }{2}}(... - ...)\). Commence par compléter cette factorisation et ensuite simplifie l'écriture de l'intérieur des parenthèses.

Avec cette nouvelle écriture de z il sera plus simple de trouver un argument.

Bon courage

SOSmath

Ré-bonsoir
J'obtiens cette expression mais je n'arrive pas à la simplifier !

C'est bien cela.

Maintenant, à l'intérieur de la parenthèse, utilise une propriété de l'exponentielle : \(\frac{1}{e^{i \frac{\Theta }{2}}}=e^{...}\). Ensuite reviens à l'expression en fonction de sinus et cosinus et tu verras qu'il y a des simplifications.

Bon courage

SOSmath

Vous parlez bien de la formule 1/(e^x) = e^(-x) ?

Merci !

Re bonsoir,
J'obtiens ceci


Merci

Bonjour Thibault,

C'est très bien.
Tu a presque la forme exponentielle ... il reste à vérifier que -2cos(\(\theta\)/2) est positif ...
Pour cela utilise les conditions sur \(\theta\) (A quel intervalle appartient-il ?).

SoSMath.

Bonjour,
Thêta est compris dans l'intervalle ]0;2pi[
Merci !

Thibault,

On a : 0 < θ < 2\(\pi\), donc 0 < θ/2 < \(\pi\).

Tu as alors 2 cas à étudier :

* 0 < θ/2 < \(\pi\)/2 : ici cos(θ/2) > 0, donc -2cos(θ/2) < 0 .... donc -2cos(θ/2) n'est pas le module de \(1-e^{i\theta}=-2cos(θ/2)e^{i\frac{\theta}{2}}\) et donc θ/2 n'est pas un argument de \(1-e^{i\theta}\) ....
Pour résoudre le problème, utilise la relation : \(-1=e^{i\pi}\).

* \(\pi\)/2 =< θ/2 < \(\pi\) : ici cos(θ/2) < 0, donc -2cos(θ/2) > 0 .... donc -2cos(θ/2) est le module de \(1-e^{i\theta}=-2cos(θ/2)e^{i\frac{\theta}{2}}\) et donc un argument de \(1-e^{i\theta}\) est ... je te laisse trouver !)

SoSMath.

Re-Bonjour !
Pour le premier cas j'ai pas tellement compris !

Pour le 2e l'argument est théta/2 ?

Merci

Thibault,

pour le 2ème cas c'est le bon argument.

Pour le 1er cas, la forme exponentielle est \(re^{i\theta}\) où \(r>0\).

\(1-e^{i\theta}=-2cos(θ/2)e^{i\frac{\theta}{2}}=2cos(θ/2)\times (-1)e^{i\frac{\theta}{2}}=2cos(θ/2)\times e^{i\pi}e^{i\frac{\theta}{2}}=2cos(θ/2)\times e^{...}\)
je te laisse compléter et conclure pour l'argument de \(1-e^{i\theta}\).

SoSMath.

Re-bonjour,

l'argument si theta/2 est dans ]0;pi/2[ c'est pi+theta/2 ? et le module est 2cos(theta/2)

Du coup ma première valeur du module peut être remplacée par celle ci ?

Merci !

Thibault,

je viens de m'apercevoir que tu avais fait une erreur de calcul ... \(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}\neq -2cos(\frac{\theta}{2})\)
mais \(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}= -2isin(\frac{\theta}{2})\).

Donc \(1-e^{i\theta}=-2isin(\frac{\theta}{2})e^{i\frac{\theta}{2}}\)

Maintenant, pour 0 < \(\theta\) < 2 \(\pi\), on a 0 < \(\theta\)/2 < \(\pi\), d'où sin(\(\theta\)/2) >= 0 (ce qui est très intéressant).

Il reste à transformer -i en forme exponentielle : -i = \(e^{...}\) (je te laisse faire).

SoSMath.