Suites

[Marc - Alexandre]

Bonjour

ÉNONCÉ : On considère une suite (Un) définie sur N et dont tous les termes sont strictement positifs (aucun terme n'est donc nul). On définit alors la suite (Vn) sur N par Vn = -2/ Un
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse :
*si elle est vrai justifier
*si elle est fausse donner un contre exemple

a) Si (Un) est convergente, alors (Vn) est convergente.
C’est FAUX. En effet, si on considère la suite définie pour tout entier naturel n par un =1/n + 1
Cette suite (un) converge vers 0.
Or, vn = –2(n + 1) et donc la suite (vn) diverge vers –inf.

b) Si (Un) est minorée par 2, alors (Vn) est minorée par -1.
C’est VRAI.
Si la suite (un) est minorée par 2, alors pour tout entier naturel n, 2 < un
Comme la fonction inverse est décroissante, et que pour tout n, un différent de 0, on en déduit que :1/2 >1/un
En multipliant par –2, on obtient : –1 < vn
Par conséquent, la suite (vn) est minorée par –1.

c) Si (Un) est décroissante, alors (Vn) est croissante.
C’est FAUX.
En effet, considérons de nouveau la suite définie pour tout entier naturel n par un =1/n + 1
Cette suite est décroissante. En effet, un+1 – un =
1/n + 2 – 1/n + 1= –1/(n + 1)(n + 2)< 0 pour tout n.
Mais, la suite (vn) définie par vn = –2(n + 1) est strictement décroissante.
En effet, vn+1 – vn = –2(n + 2) + 2(n + 1) = –2 < 0 pour tout entier n.

d) Si (Un) est divergente vers +inf, alors (Vn) converge vers 0.
A mon avis, c'est faux mais je ne sais pas comment l'expliquer.

[sos-math(20)]

Bonsoir Marc,

Quelle est votre question ?

SOSmath

[Marc - Alexandre]

Veuillez m'excusez je n'ai pas posé de question.

Pour le d), quel contre exemple peut-on donner pour dire que si (Un) est divergente vers +inf, alors (Vn) ne converge pas vers 0 ?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Marc,

Il va être difficile de trouver un contre-exemple car cette proposition est juste. Reprends ton cours et les résultats sur les limites d'un quotient.

Bonne continuation.

[Marc - Alexandre]

Ah bon ! Même si on prend un = –2(–1)n ?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Si tu prends \(U_n= –2(–1)n=2n\), sa limite est bien \(+\infty\).
\(V_n=\frac{-1}{n}\) dont la limite est bien 0 !

D'après les résultats de ton cours quelle est la limite de \(Vn = \frac{-2}{ U_n}\) lorsque tu sais que la limite de \(U_n\) est \(+\infty\) ?
Bonne continuation.

[Marc - Alexandre]

Bonjour

d) Si (Un) est divergente vers +inf, alors (Vn) converge vers 0.

D'après les résultats de ton cours quelle est la limite de \(Vn = \frac{-2}{ U_n}\) lorsque tu sais que la limite de \(U_n\) est \(+\infty\) ?
Bonne continuation.

La limite de Vn est 0.
Du coup je peux rendre ça comme exemple pour justifier l’affirmation ?


Est-ce que vous pourriez me dire si c'est correct ce que j'ai fais pour les autres affirmations, car je ne suis plus sur de moi ?

Merci pour votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tes raisonnements me semblent corrects.
Pour la dernière affirmation qui semble vraie, il faut faire une démonstration en s'appuyant sur les résultats du cours.
Sers-toi de ce qu'a dit sos-math(7).
Bonne continuation.