DM de maths

[Ivana]

Je ne comprend pas du tout mon dm, je ne vois même pas comment faire la première question même après avoir cherché.. Pouvez vous m'aidez svp ?

[SoS-Math(31)]

Bonjour Ivana,
Peux tu scanner ton énoncé dans l'autre sens "verticalement". Merci.
Tu as vu que la dérivée d'une fonction g(x) = f(ax+b) est de la forme a * f '(ax+b) où a et b sont des constantes réelles.
ici a = 1et b = y constant par rapport à x.

[Ivana]

Je n'ai pas compris comment on sait que a=1 et en quoi ça justifie que g'(x) = f'(x+y) ..
Nous n'avons pas encore commencé le chapitre sur les exponentielles en cours c'est un dm d'introduction

[SoS-Math(31)]

Oui, ce devoir est une activité de découverte pour l'exponentielle tu n'as pas besoin d'aucune connaissance sur la fonction exponentielle seulement ton cours sur les dérivées.
As tu vu les dérivées racine(u) , de 1/u, de u^n si u est une fonction ? Si oui, tu dois aussi connaitre f(ax+b), u = ax +b "fonction affine" ?
* g(x) = f(x + y) donc le coefficient devant le x est a = 1 et l'ordonnée à l'origine b est ici y par identification.

[Ivana]

Oui j'ai vu ces dérivés. En fait je ne comprend pas comment on peut prouver que g'(x)=f'(x+y) si on ne connaît pas g(x) et f(x) ..
Même avec les dérivés je ne comprend pas ca ne mène à rien ..

[SoS-Math(30)]

Bonjour Ivana,

Dans ton cours sur les dérivées, tu as peut-être la démonstration de la propriété suivante : si g(x)=f(a*x+b) où f est une fonction dérivable sur un intervalle I alors g est dérivable sur I et g'(x)=a*f '(a*x+b).
Cette propriété est valable pour n'importe quelle fonction f dérivable sur un intervalle I. Tu n'as pas besoin de connaître son expression pour écrire la formule de la propriété. Et c'est tout ce qui t'est demandé dans la première question.

SoSMath

[Ivana]

Ah oui d'accord merci j'ai compris ca se réfère à la formule du cours : f'(x) = a * u' (ax+b) !
Mais pour la question suivante, à quelle formule du cours faut il se référer ?

[SoS-Math(30)]

Bien, pour la deuxième question, on te dit d'utiliser l'égalité \(f(x+y)=f(x)\times f(y)\) où y est considéré comme constante. C'est donc comme si \(f(y)=k\) où k est une constante qui ne varie pas avec la variable x. L'expression de f(x+y) est donc de la forme \(k \times u(x)\) dont tu connais sûrement la dérivée ?

SoSMath

[Ivana]

Je ne suis pas sure de connaître la dérivée, est ce que c'est k*u'(x) ?

[SoS-Math(30)]

C'est cela oui.

[Ivana]

Merci beaucoup j'ai compris !!
Et donc pour montrer que f'(y)=f'(0)*f(y) , j'utilise f(y)=k non ? Mais apres si on dérive k on obtient 0 non ?

[SoS-Math(30)]

Non là il n'y a plus de variable x. On ne dérive plus. On regarde juste l'égalité \(f'(x+y)=f'(x)\times f(y)\) qui est vraie pour tout réel x, en particulier pour x = 0...

SoSMath

[Ivana]

Ah d'accord j'ai compris!
Merci de votre aide je vais essayer de faire la suite seule maintenant !

[SoS-Math(30)]

De rien, bon courage

SoSMath

[Ivana]

Juste une dernière question ^^
Pour la question 2)b) pour montrer que k'(x)=0 on doit utiliser u'v*uv' ?