Matrices

[Morgane]

Bonjour, je suis en spécialité maths et on a attaqué le chapitre sur les matrices. Le problème c'est qu'on a juste fait une activité découverte et que le prof nous a donné un dm dont la plupart des question n'ont même pas été abordé ! c'est l'exercie 11, 12 et 15 (photo), pouvez vous m'aider svp, juste au moins m'expliquer car je suis vraiment perdue! Pour l'exo 11 j'ai fait la question a) et j'ai conjecturé que Aˆn était croissante mais pour le raisonnement par récurrence je suis perdue, pour l'exercice 12 je ne sais pas ce que c'est qu'un graphe pondéré, et les autres question je ne comprends pas non plus, pareil pour l'exo 15, pouvez vous me guider dans mon dm svp ? Merci d'avance

[SoS-Math(30)]

Bonjour Morgane,

Commençons par l'exercice 11, tu dis avoir conjecturé que \(A^{n}\) était croissante. Tu ne réponds pas à la question. On te demande de conjecturer une expression de \(A^{n}\). Il ne s'agit pas du sens de variation de la suite \(\left ( A^{n} \right )\). Peux-tu indiquer ce que tu as trouvé pour \(A^{2}\), \(A^{3}\) et \(A^{4}\) ?
Par ailleurs, pour quand est ton devoir maison ? As-tu cours avec ton professeur avant de le rendre ? Qu'avez-vous vu dans l'activité faite en classe ?

SoS-Math

[Morgane]

J'ai trouvé A²=AA=(1 0 0 4), Aˆ3=A²A=(1 0 0 8) et Aˆ4=Aˆ3A=(1 0 0 16)
Mon dm est pour lundi et je ne vois pas mon prof avant, dans l'activité vu en classe on a fait un algorithme sur algobox et on a utilisé un tableur pour voir quand est ce que les valeurs se stabilisaient et je ne vois pas le rapport avec ce dm

[SoS-Math(30)]

Cela me semble correct pour tes calculs. A partir de ceux-ci, qu'il y a t il en commun ? Et pour les nombres qui sont différents : 2 ; 4 ; 8 ; 16, que remarques-tu ? A partir de ces constats, on pourrait penser que la matrice \(A^{n}\) ressemble à quoi ?
Si tu as su faire les premiers calculs de matrices, cela veut dire que tu as déjà travaillé dessus en classe ?

SoS-Math

[Morgane]

J'ai fais les calculs à la calculatrice avec une méthode que j'ai trouvé dans mon livre de spé, mais pour le reste on dirait que 2=2ˆ1, 4=2², 8=2ˆ3, et 16=2ˆ4 mais je ne sais pas si cc'est ça que je dois montrer ou pas ??

[SoS-Math(30)]

Oui ta remarque est correcte pour les puissances de 2. On peut donc penser que \(A^{n}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{n} \end{pmatrix}\).
Tu dois maintenant le démontrer par récurrence. As-tu déjà rédigé des récurrences ? Quelles étapes dois-tu respecter ?

SoS-Math

[Morgane]

Oui pour la récurrence je sais faire avec initialisation hérédité et conclusion, j'ai réussi merci beaucoup, par contre pour l'exercie 12 vous pouvez m'expliquer ce que c'est qu'un graphe pondéré ??

[SoS-Math(9)]

Bonjour Morgane,

Un graphe pondéré est un graphe où chaque arête est affectée d'un nombre positif.

SoSMath.

[Morgane]

Désolé mais je n'en ai jamais vu et je n'ai pas vraiment compris votre définition vous pouvez réexpliquer ??

[SoS-Math(9)]

Morgane,

Tu as déjà fait un graphe ... Les points sont reliés par des arêtes.
Quand le graphe est pondéré, on ajoute sur chaque arête des nombres (comme pour les arbres pondérés en probabilités).
Si tu veux plus d'explication, il va falloir demander à ton professeur.

SoSMath.

[Morgane]

D'accord merci et pouvez vous me dire qu'estce qu'une matrice de transition ? Je connais les matrices lignes et colonnes mais pas de transition

[SoS-Math(9)]

Morgane,

C'est la matrice associé à ton graphe.
Voici un exemple :

SoSMath.

[Morgane]

merci ! juste je ne comprends pas quelle valeur sont prises en compte car certaines apparaissent deux fois sur le graphe du coup je ne sait pas comment les différencier

[SoS-Math(9)]

Morgane,

Par exemple dans la matrice, tu as : \(M_{2,1} = 0,3\) qui correspond à la pondération de la liaison qui va de 2 vers 1.
Et quand il n'y a pas de liaison c'est que la pondération est nulle (comme la liaison qui va de 1 vers 3).

SoSMath.

[Morgane]

d'accord merci beaucoup