SOS-MATH

Bonjour,

J'ai un exercice à faire et je suis un peu bloqué.
Je dois étudier la fonction f(x)=(1-x)*racine(x^2-x^4).

1. J'ai étudié le signe de x^2-x^4 à l'aide d'inéquation, afin de déterminer l'ensemble de définition de la fonction, soit DF = (-1;1).
2. J'ai vérifié que la f'(x)=(x(x-1)(3x^2+x-1))/racine(x^2-x^4), d'où j'ai pu déduire le sens de variation de f.
3. Là je bloque. Il faut justifier que: f(x) = x(1-x)racine(1-x^2) si x>0 et f(x)=x(x-1)racine(1-x^2) si x<0. J'ai essayé de montrer que en faisant la différence avec la fonction initiale on obtient 0 ou que le quotient des deux est égal à 1, mais je ne parviens pas à conclure. Quelle méthode dois-je utiliser?
4. Je dois ensuite montrer que f est dérivable en 1 (à l'aide du taux d'accroissement) et je crois que j'arrive à montrer que f'(1)=0.
5. Cependant, je dois ensuite montrer que f n'est pas dérivable en -1 et je trouve 0 aussi...

J'ai d'autres questions, mais je pense que si j'arrive déjà à comprendre cela, je pourrai faire la suite.
Désolé pour les écriture mathématiques, je en sais pas trop où les trouver...
Merci de votre aide!

Bonjour Jacques,

Pour le domaine de définition, il s'agit d'un intervalle donc à noter entre crochets [-1;1].
Je suis d'accord pour la dérivée.
Pour la question 3, ce n'est pas la bonne méthode, tu dois factoriser par \(x^{2}\) sous la racine puis utiliser le fait que la racine d'un produit est égale au produit des racines. Cela te fera apparaître \(\sqrt{x^{2}}\) en facteur et c'est cette expression que tu peux simplifier en fonction des cas x > 0 et x < 0.
Pour la question 4, on trouve effectivement 0 pour f'(1).
Par contre pour la question 5, tu as dû commettre une erreur dans le calcul du taux d'accroissement en -1. Reprends le et si tu peux envoie le nous.

Bon courage

SoS-Math

Merci de votre réponse rapide.
J'ai repris la question 3 sans problème.
Par contre, je ne comprends pas comment je peux factoriser ou simplifier le taux d'accroissement pour la question 5. Je reste bloqué sur la forme indéterminé.

Bonjour une nouvelle fois

J'ai simplement une question supplémentaire...
Dans la suite de l'exercice, je dois calculer des équations de tangente, aux points d'abscisse -1 ; 1; 0.
Est-il normal que j'ai pour résultats:
au point d'abscisse 1 : y=0
au point d'abscisse - 1 : comme la fonction n'est pas dérivable en -1, je dois prendre f'(-1) = 0 ?
au point d'abscisse 0 : deux demi-tangentes d'équation y=0.

Il me semble qu'il y a une erreur...

Merci de votre aide!

Bonjour Jacques,

Pour la non dérivabilité en -1, dans ton expression \(\sqrt{2h-h^2}\), il faut factoriser h ...

\(\sqrt{2h-h^2}=\sqrt{h(2-h)}=\sqrt{h}\times \sqrt{2-h}\)

Ensuite il faut utiliser \(\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}\).

Pour les tangentes :
en 1, on a bien y=0
en -1, f n'est pas dérivable, donc il n'y a pas de coefficient directeur ! Cependant on a une tangente verticale d'équation x=-1 ....
en 0, il y a bien deux demi-tangentes de coefficient directeur -1 et 1...

SoSMath.

Merci de votre réponse.
Effectivement, pour les tangentes, je ne sais pas ce que j'avais fait. j'ai dû confondre. Je retrouve bien les résultats.
Par acquis de conscience, les équations des demi-tangentes sont bien y=-1 et y=1 ?
Pour les représenter sur un graphique, je les traces de part et d'autre du 0 ?

merci encore!

Bonjour Jacques,

Non ce n'est pas les bonnes équations .... dans l'équation y=-1, le coefficient directeur est 0 (y = 0x -1).
En 0, le coefficient directeur est -1 (ou 1) donc l'équation est y=-1x + b ... à toi de trouver b !

SoSMath.