SOS-MATH

bonjour,
voir l'énoncé de mon DM
l'objectif de cet exercice est de démontrer que pour tout réel x de l'intervalle I=[0;pi/2[ on a :
(3sin x)/(2+cos x)<=x<= (2 sin x + tan x)/3. avec tan x= sinx/cosx
puis d'utiliser cet encadrement pour donner une valeur approchée de pi

1. Soit f définie par f(x)= ((3sin x)/(2+cos x))-x
a. Démontrer que le signe de f' sur [0;pi/2[ est le même que le signe de: -cos²x + 2cos x - 1.
b. En déduire le sens de variation de f sur I, puis son signe.

2. Soit g définie par g(x)= ((2sin x +tan x)/3)-x.
a.Démontrer g'(x)= ((cos x-1)²(2cosx+1))/(3*cos^2x)
b.En déduire le sens de variation de g sur [0;pi/2[, puis le signe de g sur [0;pi/2[.

3. Conclure.
4. En utilisant les valeurs exactes des lignes trigonométriques de pi/6 et l'encadrement précédent, déterminer une valeur approchée de pi/6, puis de pi.


j'essaie de faire la dérivé f' je trouve (3cos x(2+cos x)-(3sin x)(-sin x)/(2+cos x)^² )-1

mais je suis bloqué ensuite,
pouvez vous m'aider

Bonjour Raphaël,

Ta dérivée est bonne ... il te reste à réduire puis soustraire tes fractions ....
Aide 1 : 1 = \(\frac{(2+cos x)^²}{(2+cos x)^²}\).
Aide 2 : -cos²x + 2cos x - 1 = -(cos²x - 2cos x + 1) = -( .... - .... )².

Je te laisse terminer.

SoSMath.

rebonjour,

j'essaie de developper ma dérivée mais je ni arrive pas
j'ai 6 cos x+ 3cos x^²+(3sinx^²)-(2+cosx)^²/(2+cosx^²)


je ne vois pas a quoi sert votre aide 2
et comment fait t on pour remplacer le sin
pouvez vous m'aider
merci

Raphaël,

tu as trouvé : \(f(x)= \frac{3cos x(2+cos x)-(3sin x)(-sin x)}{(2+cos x)^2}-1=\frac{6cos x +3cos^2 x+3sin^2 x}{(2+cos x)^2}-\frac{(2+cosx)^2}{(2+cosx)^2}\)

Voici un rappel : Pour tout x réel, \(cos^2 x+sin^2 x=1\)

L'aide 2 est pour t'aider à factoriser ton numérateur, lorsque tu l'auras trouvé.

SoSMath.

rebonjour,

ja suis arrivé a factoriser j'ai trouvé -(cosx-1)^²/(2+cos)^²

maintenant je suis bloqué a la derniere question
jai calculé 3sinx/2+cosx <=x<=(2sin x + tanx)/3
j'ai remplacé x par pi/6
resultat: 0.5234<=pi/6<=0.5258

en prennant la même methode pour pi je trouve 0 donc incorrecte

pouvez vous m'aider
merci

Raphaël,

la méthode ne marche pour \(\pi\) mais pour \(\frac{\pi}{6}\) ... tes démonstrations ont été faite sur l'intervalle [0; \(\frac{\pi}{2}\)[ !
Par contre pour obtenir \(\pi\) il faut utiliser ton inégalité 0.5234 \(\le \frac{\pi}{6} \le\) 0.5258 !

SoSMath.