SOS-MATH

Bonjour à tous !
Voila, je suis en Terminale STI2D et je sèche sur mon DM... J'ai beau cherché, je ne trouve pas ! Je m'en remet donc à vous dans l'espoir d'avoir une aide chaleureuse :)

Le problème:
On dispose d'un fil métallique de longueur 60cm. On le partage en deux portions. Avec l'une, on fabrique un triangle équilatéral, avec l'autre un carré. Est-il possible que le triangle ait un périmètre plus petit que le carré mais une aire plus grande ?

Mon raisonnement: (P le périmètre, A l'aire)
Si le fil mesure 60cm, on a donc un morceau x (le triangle) et un autre 60 - x (le carré).
Donc le coté du triangle est de x/3 (désolé, je ne sais pas si on peut faire les fractions ici)
Donc le coté du carré est de (60 - x)/4, soit 15 - x/4
Pcarré= 4(15 - x/4) Ptriangle= 3x/3 = x ?
Acarré= (15 - x/4)^2 Atriangle= (x/3 * √3)/2 (avec la formule de la hauteur)

Il est possible que Ptriangle < Pcarré si x < 60 -x
<=> 2x < 60
<=> x < 30

Donc pour que Atriangle > Acarré, on a:
(x/3 * √3)/2 > (15 - x/4)^2 (identité remarquable)
(x/3 * √3)/2 > 225 - 30x/4 + x^2/16
(x/3 * √3)/2 > 3600/16 - 120x/16 + x^2/16
(x/3 * √3)/2 > (x^2 - 120x + 3600)/16

Arrivé à ce niveau ci, je bloque... Que devrais-je faire ? Polynome du second degré ? Continuer l'inéquation ? Ou est-ce que je fais fausse route, et devrais appliqué Pythagore dans le triangle formé à partir du triangle équilatéral et de sa hauteur ? Je vous remercie infiniment d'avance,
Brandon.

Bonjour Brandon,

Tout le début est bien, mais tu as commis une pour l'aire du triangle ...
Tu as bien la hauteur h = (x/3 * √3)/2 = (√3)/6 * x (et non l'aire ...) et Atriangle = h * (x/3) /2 ...

Pour résoudre ton inéquation du second degré, regarde dans ton cours pour savoir comment faire ... (recherche des éventuelles racines ...)

SoSMath.

Alors, merci pour ta réponse.

Oui effectivement pour l'erreur...
J'ai donc:
h= (x * √3/6)/2

Et Atriangle qui est de:
A= (h*x/3)/2
= (x * √3/6 * x/3)/2
= ((12x * √3)/6)/2
=(12x * √3)/3 ?

Je m'arrête ici ? Et que dois-je faire de mon inéquation ? Je sais comment continuer sur le polynome du second degré (avec delta et les racines) mais je ne sais pas si j'isole juste le polynome ou si je dois continuer la simplification de l'inéquation...
En tout cas merci pour le temps que tu m'accorde,
Brandon

Brandon,

attention ton est encore fausse ... x*x = x² ! Donc A =(12x² * √3)/3
De plus d'où vient le "12" ?

A = (x * √3/6 * x/3)/2 = \(\frac{x\sqrt{3}}{6} \times \frac{x}{3}\times \frac{1}{2}\) = a * x² (à toi de calculer a ...)

Ensuite tu veux : ax² > (15 - x/4)² ...
Sachant que tu travailles avec des longueurs, donc x > 0, alors tu peux utiliser la fonction racine carrée pour résoudre ton inéquation.

SoSMath.

Ah oui pardon, j'avais procédé d'une mauvaise façon....
Donc je me retrouve avec:
A= √3/36*x^2

Je dois donc faire:
√3/36*x² > (15 - x/4)²
<=> √3/36*x² > (x² - 120x + 3600)/16 ??

Mais je ne sais que faire à la suite... :x

Brandon

Brandon,

C'est bien pour A.

Maintenant tu as : √3/36*x² > (15 - x/4)² soit (√(√3)/6*x)² > (15 - x/4)² soit √(√3)/6*x > 15 - x/4 ...
Je te laisse la fin de la résolution.

SoSMath.