SOS-MATH

Bonjour,

Je dois indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. J'ai réussi à faire les 3 dernières mais je n'arrive pas à démarrer pour les 2 premières.

1. On considère l'équation (E):x²+y²≡0[3]
--> Proposition : "Il existe des couples (x;y) d'entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples multiples de 3"

2. Soit n un entier, n supérieur ou égal à 3.
--> Proposition : "pour tout naturel k (k appartenant à [2;n], le nombre 1x2x3x...xn+k n'est pas premier"

Merci par avance pour votre aide.

Bonjour Emylie,

Pour le 1) je te conseille de faire un tableau de congruences, en effet x et y peuvent être congrues à 0,1 ou 2 modulo 3.
Donc tu envisages les 9 cas possibles et pour chaque cas tu calcules la congruence de x²+y² modulo 3

Pour le 2) tu peux remarquer que le nombre k est un facteur du produit 1x2x3x.....xn

Bon courage

sosmaths

Pour le 1.
J'ai fait le tableau de congruences et je remarque que x²≡0[7] équivaut à x≡3[3] et que y²≡0[3] équivaut aussi à y≡3[3]
On peut donc dire qu'il faut que x=3k et y=3k pour que x²+y²≡0[3].
Cela signifie donc que seuls les couples multiples de 3 sont solutions.
Donc l'affirmation est fausse.

Ai-je le droit de conclure comme cela?

Pour le 2.
k étant un facteur du produit, on peut écrire que 1x2x3x...xn+k = k(1x2x3x..xn +1)
Mais après je ne vois pas trop comment continuer.

Merci par avance pour vos conseils

Bonjour,
pour le 1) si tu as traité tous les cas avec le tableau de congruence, ton raisonnement suffira puisque tu as montré qu'il n'y avait que les multiples de 3 qui pouvaient être solutions : la seule façon d'obtenir \(x^2+y^2\equiv 0\,\mod(3)\) et d'avoir \(x^2\equiv y^2\equiv 0\,\mod(3)\), ce qui implique bien \(x\equiv y\equiv0\,\mod(3)\).
Pour la 2, tu as réussi à écrire ton nombre comme le produit de deux facteurs dont l'un au moins est supérieur à 1, cela prouve bien que ton nombre admet des diviseurs autres que 1 et lui-même donc que ton nombre n'est pas premier.
Bonne conclusion

Merci pour vos conseils!