SOS-MATH

Bonjour, j'ai un dm de mathématiques et je suis un peu perplexe sur la méthode à utiliser :

On considère la suite (Un) définie pour tout naturel n par : Un+1= Un + 2n + 3 et U0=3
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>n²
2) Déduisez-en le comportement en +infini de la suite (Un)
3) Ecrire un programme sous algobox pour déterminer à partir de quel rang on a Un>10ˆ6

J'ai commencé la première question j'ai fait une démonstration par récurrence mais je bloque à l'héréditée, je me ramène juste à Un+1>n²+2n+3, je ne sais pas comment m'y prendre ni a quoi je dois me ramener, pouvez vous m'aider svp ??

Bonsoir Julie,

Tu es bien partie. Il faut que tu te diriges vers l'inégalité à montrer.

Tu as (par hypothèse) : \(U_n > n^2\) et donc, effectivement, \(U_{n+1} > n^2 +2n + 3\)

Maintenant, pour l'hérédité, tu veux montrer que \(U_{n+1} > (n+1)^2\)

Cela revient à montrer que \(n^2 +2n + 3 \geq (n+1)^2\) non ?

Bon courage !

Bonsoir merci j'ai compris votre raisonnement par contre je ne sais pas quoi faire avec la dernière inégalité que vous m'avez donner, je dois me ramener à Un+1 ??

Développe \((n+1)^2\), tu y verras plus clair.

Bon courage

Oui c'est ce que j'avais commencé à faire, j'ai donc n²+2n+3>=n²+2n+1 mais je ne vois pas le rapport avec l'expression Un>n²

Bonjour Julie,

Rappelons que l'étape d'hérédité consiste à montrer que si \(u_{n}>n^2\) alors \(u_{n+1}>(n+1)^2\).
Tu as montré que \(u_{n+1}>n^2+2n+3>n^2+2n+1\), n'est-ce pas ?
Or \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
En remplaçant dans les inégalités au-dessus, n'as tu pas tout ce qu'il faut pour conclure l'hérédité ?

Bon courage

Bonjour j'aimerais savoir si ma rédaction est correct (voir photo) svp ??

Bonjour Julie,

C'est bien mais, il y a des choses inutiles ... voir l'image.
SoSMath.

Merci beaucoup! Par contre poour la question 2 je ne vois pas comment, de ce résultat on peut déduire le comportement de la suite

Julie,

Pour étudier le comportement de ta suite il faut étudier le signe de u(n+1)-u(n).

SoSMath.

Oui mais on me dit de déduire le comportement de la suite avec la question précédente donc je dois me servir de ce que j'ai trouvé non ?

Bonsoir Julie,

Je pense qu'il s'agit d'étudier la limite de la suite (Un).

Or tu viens de démontrer par récurrence que pour tout n on a Un > n².

Regarde dans ton cours ou dans ton livre les théorèmes appelés "théorèmes de comparaison pour les suites".

Bonne soirée

SOSmath

D'accord merci et pour ma réponse j'utilise le rang Un ou le rang Un+1 ??

Tu cherches la limite du terme général Un quand n tend vers \(+ \infty\).
Tu vas donc utiliser Un.

SOSmath

D'accord mais pour le théorème de comparaison il faut deux suites non ?