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Julie

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Message par Julie » ven. 6 nov. 2015 18:47

Bonjour, j'ai un dm de mathématiques et je suis un peu perplexe sur la méthode à utiliser :

On considère la suite (Un) définie pour tout naturel n par : Un+1= Un + 2n + 3 et U0=3
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>n²
2) Déduisez-en le comportement en +infini de la suite (Un)
3) Ecrire un programme sous algobox pour déterminer à partir de quel rang on a Un>10ˆ6

J'ai commencé la première question j'ai fait une démonstration par récurrence mais je bloque à l'héréditée, je me ramène juste à Un+1>n²+2n+3, je ne sais pas comment m'y prendre ni a quoi je dois me ramener, pouvez vous m'aider svp ??
SoS-Math(25)
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Re: Suites

Message par SoS-Math(25) » ven. 6 nov. 2015 19:11

Bonsoir Julie,

Tu es bien partie. Il faut que tu te diriges vers l'inégalité à montrer.

Tu as (par hypothèse) : \(U_n > n^2\) et donc, effectivement, \(U_{n+1} > n^2 +2n + 3\)

Maintenant, pour l'hérédité, tu veux montrer que \(U_{n+1} > (n+1)^2\)

Cela revient à montrer que \(n^2 +2n + 3 \geq (n+1)^2\) non ?

Bon courage !
Julie

Re: Suites

Message par Julie » ven. 6 nov. 2015 19:44

Bonsoir merci j'ai compris votre raisonnement par contre je ne sais pas quoi faire avec la dernière inégalité que vous m'avez donner, je dois me ramener à Un+1 ??
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Re: Suites

Message par SoS-Math(25) » ven. 6 nov. 2015 21:36

Développe \((n+1)^2\), tu y verras plus clair.

Bon courage
Julie

Re: Suites

Message par Julie » sam. 7 nov. 2015 08:59

Oui c'est ce que j'avais commencé à faire, j'ai donc n²+2n+3>=n²+2n+1 mais je ne vois pas le rapport avec l'expression Un>n²
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Re: Suites

Message par SoS-Math(30) » sam. 7 nov. 2015 10:21

Bonjour Julie,

Rappelons que l'étape d'hérédité consiste à montrer que si \(u_{n}>n^2\) alors \(u_{n+1}>(n+1)^2\).
Tu as montré que \(u_{n+1}>n^2+2n+3>n^2+2n+1\), n'est-ce pas ?
Or \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
En remplaçant dans les inégalités au-dessus, n'as tu pas tout ce qu'il faut pour conclure l'hérédité ?

Bon courage
Julie

Re: Suites

Message par Julie » sam. 7 nov. 2015 11:32

Bonjour j'aimerais savoir si ma rédaction est correct (voir photo) svp ??
Fichiers joints
1446892443015-1794220746.jpg
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Re: Suites

Message par SoS-Math(9) » sam. 7 nov. 2015 13:13

Bonjour Julie,

C'est bien mais, il y a des choses inutiles ... voir l'image.
Corrigé.jpg
SoSMath.
Julie

Re: Suites

Message par Julie » sam. 7 nov. 2015 16:12

Merci beaucoup! Par contre poour la question 2 je ne vois pas comment, de ce résultat on peut déduire le comportement de la suite
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Re: Suites

Message par SoS-Math(9) » sam. 7 nov. 2015 17:22

Julie,

Pour étudier le comportement de ta suite il faut étudier le signe de u(n+1)-u(n).

SoSMath.
Julie

Re: Suites

Message par Julie » sam. 7 nov. 2015 17:41

Oui mais on me dit de déduire le comportement de la suite avec la question précédente donc je dois me servir de ce que j'ai trouvé non ?
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Re: Suites

Message par sos-math(20) » sam. 7 nov. 2015 18:02

Bonsoir Julie,

Je pense qu'il s'agit d'étudier la limite de la suite (Un).

Or tu viens de démontrer par récurrence que pour tout n on a Un > n².

Regarde dans ton cours ou dans ton livre les théorèmes appelés "théorèmes de comparaison pour les suites".

Bonne soirée

SOSmath
Julie

Re: Suites

Message par Julie » sam. 7 nov. 2015 21:15

D'accord merci et pour ma réponse j'utilise le rang Un ou le rang Un+1 ??
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Re: Suites

Message par sos-math(20) » sam. 7 nov. 2015 22:11

Tu cherches la limite du terme général Un quand n tend vers \(+ \infty\).
Tu vas donc utiliser Un.

SOSmath
Julie

Re: Suites

Message par Julie » dim. 8 nov. 2015 08:57

D'accord mais pour le théorème de comparaison il faut deux suites non ?
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