Suites
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Bonjour, j'ai un dm de mathématiques et je suis un peu perplexe sur la méthode à utiliser :
On considère la suite (Un) définie pour tout naturel n par : Un+1= Un + 2n + 3 et U0=3
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>n²
2) Déduisez-en le comportement en +infini de la suite (Un)
3) Ecrire un programme sous algobox pour déterminer à partir de quel rang on a Un>10ˆ6
J'ai commencé la première question j'ai fait une démonstration par récurrence mais je bloque à l'héréditée, je me ramène juste à Un+1>n²+2n+3, je ne sais pas comment m'y prendre ni a quoi je dois me ramener, pouvez vous m'aider svp ??
On considère la suite (Un) définie pour tout naturel n par : Un+1= Un + 2n + 3 et U0=3
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>n²
2) Déduisez-en le comportement en +infini de la suite (Un)
3) Ecrire un programme sous algobox pour déterminer à partir de quel rang on a Un>10ˆ6
J'ai commencé la première question j'ai fait une démonstration par récurrence mais je bloque à l'héréditée, je me ramène juste à Un+1>n²+2n+3, je ne sais pas comment m'y prendre ni a quoi je dois me ramener, pouvez vous m'aider svp ??
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Re: Suites
Bonsoir Julie,
Tu es bien partie. Il faut que tu te diriges vers l'inégalité à montrer.
Tu as (par hypothèse) : \(U_n > n^2\) et donc, effectivement, \(U_{n+1} > n^2 +2n + 3\)
Maintenant, pour l'hérédité, tu veux montrer que \(U_{n+1} > (n+1)^2\)
Cela revient à montrer que \(n^2 +2n + 3 \geq (n+1)^2\) non ?
Bon courage !
Tu es bien partie. Il faut que tu te diriges vers l'inégalité à montrer.
Tu as (par hypothèse) : \(U_n > n^2\) et donc, effectivement, \(U_{n+1} > n^2 +2n + 3\)
Maintenant, pour l'hérédité, tu veux montrer que \(U_{n+1} > (n+1)^2\)
Cela revient à montrer que \(n^2 +2n + 3 \geq (n+1)^2\) non ?
Bon courage !
Re: Suites
Bonsoir merci j'ai compris votre raisonnement par contre je ne sais pas quoi faire avec la dernière inégalité que vous m'avez donner, je dois me ramener à Un+1 ??
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Re: Suites
Développe \((n+1)^2\), tu y verras plus clair.
Bon courage
Bon courage
Re: Suites
Oui c'est ce que j'avais commencé à faire, j'ai donc n²+2n+3>=n²+2n+1 mais je ne vois pas le rapport avec l'expression Un>n²
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Re: Suites
Bonjour Julie,
Rappelons que l'étape d'hérédité consiste à montrer que si \(u_{n}>n^2\) alors \(u_{n+1}>(n+1)^2\).
Tu as montré que \(u_{n+1}>n^2+2n+3>n^2+2n+1\), n'est-ce pas ?
Or \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
En remplaçant dans les inégalités au-dessus, n'as tu pas tout ce qu'il faut pour conclure l'hérédité ?
Bon courage
Rappelons que l'étape d'hérédité consiste à montrer que si \(u_{n}>n^2\) alors \(u_{n+1}>(n+1)^2\).
Tu as montré que \(u_{n+1}>n^2+2n+3>n^2+2n+1\), n'est-ce pas ?
Or \((n+1)^2=n^2+2n+1\).
En remplaçant dans les inégalités au-dessus, n'as tu pas tout ce qu'il faut pour conclure l'hérédité ?
Bon courage
Re: Suites
Bonjour j'aimerais savoir si ma rédaction est correct (voir photo) svp ??
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Suites
Bonjour Julie,
C'est bien mais, il y a des choses inutiles ... voir l'image.
SoSMath.
C'est bien mais, il y a des choses inutiles ... voir l'image.
SoSMath.
Re: Suites
Merci beaucoup! Par contre poour la question 2 je ne vois pas comment, de ce résultat on peut déduire le comportement de la suite
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Re: Suites
Julie,
Pour étudier le comportement de ta suite il faut étudier le signe de u(n+1)-u(n).
SoSMath.
Pour étudier le comportement de ta suite il faut étudier le signe de u(n+1)-u(n).
SoSMath.
Re: Suites
Oui mais on me dit de déduire le comportement de la suite avec la question précédente donc je dois me servir de ce que j'ai trouvé non ?
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- Enregistré le : lun. 5 juil. 2010 13:47
Re: Suites
Bonsoir Julie,
Je pense qu'il s'agit d'étudier la limite de la suite (Un).
Or tu viens de démontrer par récurrence que pour tout n on a Un > n².
Regarde dans ton cours ou dans ton livre les théorèmes appelés "théorèmes de comparaison pour les suites".
Bonne soirée
SOSmath
Je pense qu'il s'agit d'étudier la limite de la suite (Un).
Or tu viens de démontrer par récurrence que pour tout n on a Un > n².
Regarde dans ton cours ou dans ton livre les théorèmes appelés "théorèmes de comparaison pour les suites".
Bonne soirée
SOSmath
Re: Suites
D'accord merci et pour ma réponse j'utilise le rang Un ou le rang Un+1 ??
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- Enregistré le : lun. 5 juil. 2010 13:47
Re: Suites
Tu cherches la limite du terme général Un quand n tend vers \(+ \infty\).
Tu vas donc utiliser Un.
SOSmath
Tu vas donc utiliser Un.
SOSmath
Re: Suites
D'accord mais pour le théorème de comparaison il faut deux suites non ?