SOS-MATH

Bonjour ! J'ai un dm de maths sur les suites et il y a un exercice ou je bloque à la 4ème question, voilà le sujet :

Soit la suite (Un) définie sur N par U indici n+1=3-(4/(Un)+1) et U0=2
1) Démontrer que la suite (Un) est bornée, plus précisément démontreer que pour tout n appartient à N Un appartient à [1;2].
2) Vérifier que pour tout n appartient à N U indice n+1 - Un = -(Un-1)²/Un+1
3) En déduire le sens de variation de la suite (Un).
4) Démontrer que la suite (Un) converge et calculer sa limite.
5) Démontrer que la suite (Sn) définie par Sn= Epsilum n k=0 uk= u0 + u1 + ... + Un diverge vers +infini.
6) Compléter l'algorithme suivant pour qu'il retourne la valeur de Sn une fois que l'utilisateur a saisi la valeur de n.

Entrée : n un entier naturel
Variables : u et s sont des variables réelles
n et i sont des variables entières
Initialisation : u prend la valeur 2
s prend la valeur u
i prend la valeur 0
demander la valeur de n
Traitement : Tant que ...
Affecter à i la valeur i +1
Affecter à u la valeur ...
Affecter à s la valeur ...
Fin tant que
Sortie : afficher s

Voilà j'ai fais les question 1 2 et 3 mais à partir de la 4ème je suis un peu perdue, j'ai dit que (Un) est décroissante et Un>= 1 donc on peut dire qu'elle converge vers une limite l = 3-4/l+1 mais je ne sais pas si ma démarche est juste, pouvez vous m'aidez svp ??

Bonsoir Morgane,

Ta démarche est correcte, il te reste à résoudre l'équation finale pour avoir la valeur de la limite l de la suite.

Bon courage

SOSmath

Merci de d'avoir validé ! le problème est que je n'arrive pas à résoudre cette équation, c'est peut être tellement bête que je ne le vois pas mais j'obtient du l² et je ne comprends pas

Il y a bien du l², et sans doute aussi 2 solutions à l'équation ! Il va falloir choisir et exclure une des deux solutions en utilisant une des propriétés de la suite (Un) démontrée précédemment.

SOSmath

Je dois utiliser delta pour résoudre l'équation ?

A priori oui si c'est une équation du second degré ! Quelle est ton équation ?

SOSmath

j'ai l²+l+1=0 sauf que ici delta = -3 donc il n'y a pas de solution ?

Je ne vois pas bien comment tu as pu trouver cette équation : peux-tu me redonner l'expression de ta suite en étant bien précise sur les parenthèses ? Pour l'instant moi j'ai \(u_{n+1}=3 - \frac{4}{u_n +1}\) : est-ce cela ?

SOSmath

oui c'est bien ça

Alors c'est ton calcul qui est faux : repars de \(l=3-\frac{4}{l+1}\), réduis au même dénominateur, simplifie et du devrais obtenir l²-2l+1=0, équation qui elle n'a qu'une seule solution !

Bon courage

SOSmath

Effectivement j'ai trouvé ça avec pour solution 1 merci, par contre pour la question 5 je ne sais pas par où commencer je suis vraiment perdue je ne sais pas comment faire pouvez vous me guider svp ??

Bonjour Morgane,

Pour la question 5, il faut utiliser le fait que (Un) est décroissante.
On alors pour tout k allant de 0 à n, \(u_n \leq u_k\).
Donc \(u_n \leq u_0\), \(u_n \leq u_1\), ..., \(u_n \leq u_n\).
Effectue alors la somme des inégalités ci-dessus, pour en déduire par comparaison la limite de Sn.

SoSMath.

Merci mais je ne comprends pas comment on peut additionner des inégalités comme celles là ?

Morgane pour additionner des inégalités, on utilise la règle suivante :
Si a < b et c < d, alors a+c < b+d.

On a \(u_n ≤ u_0\) et \(u_n ≤ u_1\) donc on obtient \(u_n + u_n ≤ u_0 + u_1\)
Additionne alors les autres inégalités ....

SoSMath.

J'ai essayé mais je ne comprends pas, il faut additionner toutes les inégalités séparément ou ensemble ? Un+Un<=U0+U1 ou Un+Un+Un<=U0+U1+Un