DM raisonnement par récurrence et suite :Avec une racinecaré

[NIKITALOVE]

U est une suite définie par U0=0 et pour tout nombre entier naturel n, Un+1=racine 0.5Un^2+8

1) Calculer U1 Et U2 : fait
2) Démontrer par récuurence qur pour tout n de N: 0<Un<Un+1<8 : fait

Mais le reste je n'y arrive pas

3)a)justifier que la suite u est convergente
b)En remarquant que, pour tout n de N U^2n+1=0.5u^2n+8, montrer que la limite l de la suite u est une solution d'une équation et en déduire la aleur de cette limite
4)a)V est une suite définie sur N par Vn=u^ n-16
b)En déduire l'expression de Vn puis de Un en fonction de n

Merci pour ceux qui pourront m'aider

[sos-math(21)]

Bonjour,
Il faut que tu utilises la récurrence pour montrer la propriété \(\mathcal{P}_n\,:\, 0\leq n<u_{n+1}\leq8\)
En calculant \(u_1=....\), tu as bien \(0\leq u_0<u_1\leq 8\) donc \(\mathcal{P}_0\) est vraie.
On se place désormais à un rang n donné quelconque et on suppose que \(\mathcal{P}_n\,:\, 0\leq n<u_{n+1}\leq8\) est vraie.
Comment passer de \(\mathcal{P}_n\) à \(\mathcal{P}_{n+1}\) ? Il suffit de travailler sur les inégalités : comment fait-on pour passer de \(u_n\) à \(\sqrt{0,5u_n^2+8}=u_{n+1}\) ? Je te laisse trouver les opérations élémentaires pour suivre l'enchainement :
\(u_n\to\ldots\to\ldots\ldots\sqrt{0,5u_n^2+8}\)
Bon courage