Suites

[Marie]

Bonjour j'ai un devoir maison sur les suites et je ne sais pas comment démarer car nous n'avons pas vraiment vu ce type d'exercice en classe :

Etudier la convergence de chacune des suites (Un) suivantes :

1) Un = 2*exp(n)-3*(-0,5)ˆn

2) Un = 3ˆn-2ˆn+1

3) Un = [(n+(-1)ˆn)/n] pour n supérieur ou égal à 1

4) Un = (1/n)cos(n*Pie)/17 pour n supérieur ou égale à 1

5) Un = Epsilum n k=1 n/(k+n²)=n/(1+n²)+n/(2+n²)+...+n/(n+n²) pour n supérieur ou égal à 1

Je ne comprends pas le but de l'exercice, quelle démarche je dois adopter pour répondre à la question ? Merci beaucoup pour votre aide

[sos-math(27)]

Bonjour Marie,
Pour étudier les suites, le plus simple sera d'utiliser un tableur : une colonne pour \(n\), une colonne pour calculer \(u_n\), et tu peux obtenir autant de termes que tu le souhaites.
Ensuite, la convergence signifie : que devient \(u_n\) quand \(n\) prend de grandes valeurs . avec le tableur tu pourras faire des conjectures. Pour l'étude, il faut quand même se reporter à un cours. Es tu sûre de n'avoir Rien vu en classe ?

[Marie]

Je pense qu'il faut étudier les limites des suites, en tout cas on ne doit pas utiliser un tableur il me semble

[sos-math(27)]

Le tableur peut vraiment aider pour conjecturer les résultats, car il permet de calculer très facilement un grand nombre de termes de la suite.
Pour l'étude des limites, je reste à disposition, mais tu dois avoir des éléments de cours, le professeur ne peut pas vous laisser trouver cela seul.
à bientôt

[Marie]

Oui j'ai un cours sur les limites mais nous n'avons pas fait ce genre d'exercices du coup j'ai du mal à démarer, pour la 1) j'ai réussi à faire quelque chose et cela medonne que la limite tend vers +infini
cependant pour la 2 je tombe sur une forme indeterminée et alors là je ne sais vraiment pas quoi faire

[sos-math(21)]

Bonjour,
tes limites font référence à des suites de la forme \(u_n=f(n)\) donc il s'agit de réfléchir sur les limites de fonctions quand \(x\to +\infty\).
Par exemple pour la seconde, tu as \(f(n)=3^n-2^n+1\) : tu as effectivement une forme indéterminée, il s'agit alors de factoriser par le terme le plus "fort" :
\(3^n-2^n+1=3^n\times\left(\ldots+\frac{2^n}{???}+\frac{1}{???}\right)\), cela devrait te permettre de lever ton indéterminée.
Bon courage

[Marie]

Je ne comprends pas votre technique dans le spointillés je ne vois absolument pas ce qu'il faut mettre pourquoi le 2ˆn et le 1 se transforment-ils en fraction ??

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Pour compléter \(3^n-2^n+1=3^n\times\left(\ldots+\frac{2^n}{???}+\frac{1}{???}\right)\) il faut mettre en facteur \(3^n\) dans l'expression \(3^n-2^n+1\).

Bonne continuation.

[Camille]

Oui mais je ne vois pas comment 3ˆn x 2ˆn/... peut être égal à -2ˆn

[SoS-Math(7)]

Bonjour Camille,

Effectivement, l'égalité va davantage ressembler à \(3^n-2^n+1=3^n\times\left(\ldots-\frac{2^n}{???}+\frac{1}{???}\right)\)

Bonne continuation.

[Camille]

Je pense qu'il faut les remplacer par 3ˆn

[SoS-Math(7)]

Bonjour Camille,

Prends le temps de réfléchir et de faire une proposition avec une expression écrite dans sa globalité ; le but étant d'avancer dans ton exercice.

A bientôt

[Camille]

3ˆn x [1-(2ˆn/(-2ˆn))+1/3ˆn] me smeble juste

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Non Camille, il y a une erreur dans ta proposition...

3ˆn x [1-(2ˆn/(-2ˆn))+1/3ˆn]
si je développe ton expression, cela donne : \(3^{n}-\frac{2^{n}\times 3^{n}}{-2^{n}}+1=3^{n}+3^{n}+1\)

Bonne correction.

[Camille]

Merci désolée du retard je n'avais plus de connexion j'ai réussi mais c'est pour la question 4 et 5 que je bloque je pense que la question 4 je dois encadrer le cosinus mais je ne vois pas trop quel encadrement en tirer et pour la question 5 je crois que le premier terme est le plus grand et le dernier terme est le plus petit car son dénominateur est le plus grand d'ou n/(n+n²) <= Un <= n/(1+n²) mais je ne vois pas comment en déduire la limite