2 exercices suites+exponentiel type bac

[LaylaManga]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide sur 2 exercices qui me sont, je trouve, un peu complexe ^^'
Les voici:

1er exo:

On a tracé ci dessous la courbe représentative C d'une fonction f définie sur R par f(x)=(ax²+bx+c) exp -x
Cette courbe descend jusqu'en C(-1;0), et on sait que B(0;1) (elle descend, remonte et redescend plus loin de B)
On donne son tableau de variation incomplet
x/-infini. -1. +infini
f'(x)/ - 0
f(x)/flèche descend en zero, remonte et redescend

1) a/ a l'aide des renseignements portés sur la figure, déterminée les nombres a,b,c.
b) complétez le tableau de variations en justifiant vos réponses.

2) dans cette question, on se propose d'étudier la position relative de la courbe C et de la tangente T en B à C.
a) justifier que le problème revient a déterminer le signe de (x-1)phi(x) ou phi est la fonction définie sur R par phi(x)=(x-1)(exp-x)-1

b) étudier le signe de phi(x) et conclure.

Pour cette exercice, j'ai fait un début mais j'ai du mal des le départ ^^'
Pour la 1a j'ai fait:
f(x)=(ax²+bx+c)exp-x (le -x étant la puissance)
B(0;1) donc il appartient à la courbe C donc f(0)=1 d'où
(a0²+b0+c)exp-0 =1 donc c=1
f(x)=(ax²+bx+1)exp-x

L'équation réduite de la tangente a C en B(0;1) est
Y=f'(0)(x-0)+f(0)
Lorsque je fais la dérivé de f(x) cela me donne:
f'(x)=(2ax+b)(exp-x) + (ax²+bx +1)(-exp de -x)
f'(x)=exp-x(2ax+b-ax²-bx-1)
f'(0)=(b-1)

Y=(b-1)x-1 (en remplaçant les termes qu'il faut)
C(-1;0) appartient a la tangente mais lorsque que je remplace je n'arrive pas a trouver ni b ni a et du coup je ne peux pas faire mon exercice..J'ai pensé au tangente car ça me parait un moyen mais après je ne sais pas du tout.. A par que c=1..voilà mon problème je n'arrive pas a continuer.. ^^'


Mon 2e exo:
On considère la suite Wn dont les termes vérifient,pour tout nombre entier naturel,
n>/1 (n supérieur ou égal a 1)
nWn=(n+1)W(n-1)+1 et Wo=1
Un tableau nous donne les 1er termes:
Wo=1;W1=3;W2=5;W3=7;W4=9;W5=11;W6=13;W7=15;W8=17 et W9=19
1) détaillée le calcul permettant d'obtenir W10.
Celui la y'a pas de souci mais c'est la question 2 que je n'arrive pas..
2) donner la nature de la suite (Wn). Calculez W2009.
J'ai demandé a ma prof et elle m'a dit de trouver une conjecture mais malheuresemeny je n'y arrive pas, j'avais bien pensé Wn=(n²+1) mais ça ne fonctionne pas avec tous les termes...
Donc si vous pouvez pour ces exercices ce serait sympa! Merci d'avance ^^

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Layla,

Pour l'exercice 1, il faut utiliser le fait que f'(x0) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x0 ...
Donc si tu as la tangente en 0 sur la figure il suffit de lire sa valeur ce qui te donnera f'(0) et donc b-1 ....

Tu peux aussi utiliser f'(-1)=0 d'après ton tableau de variations ...

Pour l'exercice 2, ta conjecture est fausse ... il me semble que tu dois avoir Wn=n+1 et non Wn=(n²+1) ...

SoSMath

[LaylaManga]

Non la tangente a B passe par -1 en abscisse et remonte vers la droite en passant par 1 en ordonné.. J'ai juste réussi a trouvé c=1 avec B(0;1) en remplaçant le x de f(x) par 0.. Mais après je trouve f'(x)=e(-x)(2ax+b-ax²-bx-1) est-ce que c'est ça? Car avec ceci j'ai réussi a trouvé que f'(0)=b-1 mais ça ne m'aide pas plus que ça..
Et pour l'exercice 2 cela ne peux pas être n+1 car W1=3 et 1+1 ne fait pas 3 chez moi ^^' ça ne fonctionne que avec Wo=1 mais pas avec le reste des termes..

[LaylaManga]

J'ai réussi a faire la 1 mais la 2 je ne comprend pas vraiment.. Il faut développé (x+1)phi(x)?? Mais pour trouver quoi a la fin? Et je n'ai toujours pas trouvé la conjecture pour le 2e exo..

[sos-math(27)]

Bonjour Layla,

Tu es très bien partie pour le 1), mais il faut juste que tu utilises bien TOUTES les informations qui te sont données dans le tableau et avec la courbe.

Tu as donc c=1

Puisque tu sais que la tangente à la courbe en B passe par B(0;1) et par C(-1;0), tu connais donc le coefficient directeur (c'est 1), donc : b-1 = 1

Enfin, si il y a une tangente horizontale en C, c'est que f'(-1)=0. L'expression que tu avais calculé pour f'(x) est juste, tu peux remplacer x par (-1) et donc calculer a (attention, l'exponentielle n'étant jamais égale à 0, il suffit que \(-a x^2 + (2a-b) x +b -c\)
soit égal à 0 pour faire le calcul de a.

Je regarde pour l'autre exercice.
Courage !!

[sos-math(27)]

Rebonjour : il me semble que la conjecture est : \(w_n=2n+1\)

Attention, dans mon message précédent, il y a eu un bug avec l'éditeur d'équation, il faut lire -a x^2 + (2a-b) x +b -c soit égale à 0 pour faire le calcul de a (je ne sais pas pourquoi l'affichage ne correspond pas !!

\(-a x^2 + (2a-b) x +b -c\)
soit égal à 0 pour faire le calcul de a.

à bientôt

[LaylaManga]

Bonsoir,
Merci pour les conseils j'ai réussi a trouvé a=1 b=2 et c=1 et pour le 2e exercice j'ai pu le finir ^^ il me manque juste la 2a et b du 1er exercice.. Je n'y arrive pas, je ne sais pas trop quoi faire... Merci de bien vouloir(encore) m'aider ^^'

[sos-math(27)]

Bonsoir,
Avec la conjecture que je t'ai donnée, il est facile d'avoir la nature de la suite \(w_n\) et de calculer \(w_2009\).

Je te laisse réfléchir encore un peu ... à bientôt

[LaylaManga]

Oui oui j'ai réussi a finir cette exercice, la ou je n'y arrive pas c'est la ou on doit justifier que le problème revient a déterminer le signe de (x+1)phi(x) ou phi est la fonction définie sur R par phi(x)=(x+1)e(-x)-1 et celle d'après ou on doit déterminée le signe de phi(x) et conclure...

[LaylaManga]

J'ai bien réussi cette exercice c'est l'autre exercice que je n'arrive pas a finir ^^' a partir du 2a et b

[sos-math(27)]

En fait, c'est très classique :

Pour démontrer que A > B par exemple, il est équivalent de démontrer que A - B > 0.

Ainsi pour déterminer la position relative de deux courbes ( savoir quand l'une est "au dessus" de l'autre, il suffit d'étudier le signe de la différence de l'odonnée de deux points ayant même abscissse.
Si \(M (x ; y_C=f(x))\) et \(T(x;y_T=x+1)\) sont deux points respectivement de la courbe C et de la tangente T :

Cherche l'expression de : \(y_C-y_T = f(x) - (x+1)\) tu verras apparaître une factorisation par (x+)... je te laisse chercher
à bientôt

[LaylaManga]

Et bien je fais C-T=0
(x²+2x+1)e(-x)-(x+1)=0
(x+2+1)e(-x)-(x+1)=0
(x+3)e(-x)-(x+1)=0 mais après? Car je suppose qu'a la fin je dois trouvé (x+1)phi(x)?

[LaylaManga]

Est-ce que c'est ça?! :
(x²+2x+1)e(-x)-(x+1)=0
(x+2+1)e(-x)-1=0
(x+1)e(-x)-1=0

J'ai enlever un x au x², le x du 2x et le x de x+1 et j'ai ensuite "factorisé" par 1 en enlevant 1 au 2 et le 1 de la même parenthèse mais je ne sais pas si on le droit de faire comme ça?!

[sos-math(20)]

Ce que tu as écrit n'est pas correct : je ne comprends pas ton (x+2+1) à la 2ième ligne.

A la première ligne tu as (x²+2x+1) qui s'écrit aussi ..... (identité remarquable)

C'est comme cela que tu feras apparaître un facteur commun.

Bon courage pour reprendre ton calcul.

SOSmath

[LaylaManga]

Ah oui ^^'
Mais ça me donne (x+1)²e(-x)-(x+1)=0
(x+1)(x+1)e(-x)-(x+1)=0
Mais après ?? C'est vrai que j'ai un peu sde mal en ce qui concerne les factorisations..