SOS-MATH

Bonjour je suis élève de terminale S en spé maths et j'ai un devoir maison sur les congruences, je pense avoir assez compris le principe cependant je n'arrive pas à faire mon troisième exercice où on me demande de trouver le reste dans les divisions euclidiennes de 14 puissance 200 par 5 et de 11 puissance 101 par 3. Je ne comprends pas la démarche a effectuer pour résoudre ce problème, je sais que a=bq+r mais je ne vois pas comment résoudre ces divisons avec cette formule. Je ne veux pas la réponse juste qu'on me guide pour savoir comment faire, merci d'avance

Bonjour Charlotte,

Dons ton exercice il s'agit d'utiliser la propriété suivante sur les congruences : Si \(a\equiv b [p]\), alors \(a^n\equiv b^n [p]\).
Et lorsque b = 1 ou -1, cela donne un résultat simple car \(1^n=1\) et \((-1)^n=\begin{cases} & 1 \text{ si n est pair } \\ & -1 \text{ si n est impair } \end{cases}\).

SoSMath.

Merci j'ai donc 14ˆ200 congrue à b modulo 5 mais je ne sais pas quelle démarche adopter suite à cela ?

Charlotte,

tu as : \(14\equiv 4 [5]\) donc \(14^{200}\equiv 4^{200} [5]\) mais cela n'est pas très intéressant ...
Par contre tu peux utiliser : \(14^{200}=(14^2)^{100}\)

SoSMath.

Je suis désolée mais je ne comprends vraiment pas cet exercice, je ne vois pas le lien entre vos données et la question posée, d'après elles j'ai donc (14²)ˆ100 congru à (4²)100 modulo 5 mais quel rapport avec le reste que je dois déterminer ?

Charlotte,

voici le début : \(14\equiv 4 [5]\) donc \(14^{2}\equiv 4^{2} [5]\) soit \(14^{2}\equiv 16 [5]\)
Or \(16\equiv 1 [5]\) donc \(14^{2}\equiv 1 [5]\) ...

SoSMath.

Mais alors là où est passé le puissance 100 après le ² ?

Charlotte,

c'est à toi de continuer, je t'ai donné le début !

SoSMath.

Merci de ces explications mais je n'ai toujours pas compris le principe de raisonnement

Charlotte,

tu as \(14^{2}\equiv 1 [5]\) donc \((14^{2})^{100}\equiv 1^{100} [5]\) soit \(14^{200}\equiv 1 [5]\)
Donc le reste de la division de 14^200 par 5 est 1.

SoSMath.

D'accord merci et par exemple pour la deuxième je peux donc dire que 11 congru à 2 modulo 3 donc 11ˆ101 congru à 2ˆ101 modulo 3 ??

C'est bien cela, Charlotte.

SOSmath

Par contre je ne peux pas introduire de ² dans mon raisonnement non ? J'aurais penser à faire (11ˆ1)ˆ100 congru à (2ˆ1)ˆ100 mais je ne vois pas en quoi ça m'avance ?

Il n'y a aucun intérêt à écrire 11^1 et 2^1 puisque tu sais bien que 11^1 = 11 et qu 2^1=2.

Tu dois travailler avec 2^101 mais avant cela commence pas regarder les congruences modulo 3 des puissances de 2 : 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5 ...... Remarques-tu quelque chose ?

SOSmath

Je remarque que la congruence est alternative soit congru 2 soit congru 1 mais ça ne m'avance pas je ne comprends pas ...