suite et rccurence

[lucie]

bonjour, j'ai un DM a faire et je suis bloqué à la question 2a
voici l'énoncé
soient (Un) et (Vn) les suites définies pour tout entier naturel par:
U0=-1 V0=2
Un+1=Un+Vn/2 et Vn+1=Un+4Vn/5

1) Conjecturer les limites des suites (Un) et (Vn)
2 a) démontrer que, pour tout entier naturel n , Un<=Vn
b) Démontrer que la suite Un) est croissante et que (Vn) est décroissante
c) en deduire que (Un) et Vn) sont convergentes

3) soit la suite(Wn) definie pour tout entier naturel n par: Wn=Vn-Un
a)demontrer que (Wn) est une suite géomètrique dont on précisera la raison
b) justifier que la suite (Wn) est convergente. Que peut-on en déduire pour les suites (Un) et (Vn)?

4. Soit la suite (Tn) definie sur N par Tn=2Un+5Vn
a) demontrer que la suite (Tn) est une suite constante
b)en déduire la limite des suites (Un) et (Vn)


j'ai conjecturer les limites de Un et Vn tend vers 1

pour le 2a, il faut faire une demonstration par reccurence
initialisation: on verifie que la proposition est vraie au rang n=0
soit Pn: Un<=Vn
donc U0=-1 et V0=2
donc -1<=2 donc la proposition Pn est vraie au rang n=0
hérédité/ on suppose queUn<=Vn pour tout n>=0

ensuite je bloque

merci pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
je te cite :

U0=-1 V0=2
Un+1=Un+Vn/2 et Vn+1=Un+4Vn/5

Si tes suites sont définies ainsi, je ne trouve pas qu'elles soient convergentes.
Peux-tu préciser ton énoncé ?
Merci

[lucie]

je ne peut ps preciser l'énoncé car je vous l'ai transmis tel que je l'ai
mais je suis bloqué avant la question sur la convergence
la 2 a c'est a dire demontrer que, pour tout entier naturel n, Un<=Vn
il faut faire la récurrence mais je ne vois pas comment je vous ai transmis l'initialisation que j'ai effectue mais pour l'heridite j'ai un probleme

merci

[sos-math(21)]

Tes suites ne seraient pas définies par :
\(u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}\) et \(v_{n+1}=\frac{u_n+4v_n}{5}\) ?
Avec une telle définition, cela irait mieux.
Pour l'hérédité ce serait aussi plus simple :
si tu supposes que \(u_n\leq v_n\), alors, je te conseille de calculer \(u_{n+1}-v_{n+1}\) et d'étudier le signe de cette différence.
Bon courage

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lucie,

Tu n'as pas compris que tes suites, comme tu les as écrites, sont fausses ...
Tu dois avoir : Un+1=(Un+Vn)/2 et Vn+1=(Un+4Vn)/5 .... c'est totalement différent de Un+1=Un+Vn/2 et Vn+1=Un+4Vn/5 !

Pour la question 2a, il faut faire une récurrence .... et pour comparer deux nombres il est souvent plus simple d'étudier le signe de la différence.
Donc il te faut montrer la propriété P(n) suivante : pour tout n, \(u_n - v_n < 0\).

SoSMath.

[lucie]

pour la 2 a

heredité: on suppose que Un<=Vn pour un entier n>=0
on veut demontrer que Un+1<=Vn+1
Un+1-Vn+1<=0

Un+1-Vn+1= 3-10(Un-Vn)
donc Un<=Vn
donc la proposition est vraie pout tout n>0

est ce bon merci

[sos-math(21)]

Je ne suis pas d'accord avec tes calculs,
Il faut tout mettre au même dénominateur :
\(\frac{u_n+v_n}{2}-\frac{u_n+4v_n}{5}=\frac{???}{10}-\frac{???}{10}\)
Je te laisse terminer

[lucie]

pour la question 3 b que peut on deduire pour les suites Un et Vn


soient Un et Vn deux suites
on a Un<=Vn
si limite Un=l
si limite Vn =l'
Wn=l-l'
alors l=l'
est ce correct merci

[sos-math(21)]

Une fois que tu as prouvé que \((w_n)\) est une suite géométrique de raison \(0<q<1\), tu peux en conclure que celle-ci est convergente et sa limite est ...
Sachant que tes suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes, en passant à la limite dans l'expression \(w_n=v_n-u_n\), tu as bien la réponse souhaitée.
As-tu fini ta récurrence ? Tu nous renvoies d'autres réponses alors que nous n'avons pas traité les questions précédentes...

[lucie]

heredité: on suppose que Un<=Vn pour un entier n>=0
on veut demontrer que Un+1<=Vn+1
Un+1-Vn+1<=0

Un+1-Vn+1= 3/10(Un-Vn)
donc Un<=Vn
donc la proposition est vraie pour tout n>0

2b)
Un+1-Un=(-Un+Vn)/2

Un est croissante

Vn+1-Vn=(Un-Vn)/5
Vn est decroissante


c) Un est majore et croissante donc convergente
Vn est minoré et croissante donc convergente

3a)
Wn=Vn-Un
Wn= 3/10(Un-Vn)

raison 3/10
b)Wn:q=3/10

donc -1<=3/10<=1
donc la suite est convergente vers 0
c'est pour cette question que peut on en deduire pour les suites (Un) et (Vn) que j'ai besoin de vous
la limite de Wn = l-l'
merci

[SoS-Math(9)]

Lucie,

Question 3: Si \(\lim_{n \to +\infty}v_n-u_n=0\) et les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent,

alors \(\lim_{n \to +\infty}v_n=\lim_{n \to +\infty}u_n\).

Pour le reste cela semble correct ...

SoSMath.

[lucie]

question 4 a) Tn=2Un+5Vn

demontrons que (Tn) est une suite constante

Tn+1=2Un+1+5Vn+1
on retrouve Tn=2Un+5Vn
donc Tn est constante
4 b) en deduire la limite des suites (Un) et (Vn)
comment faire svp
merci

[SoS-Math(9)]

Lucie,

Tu as :
\(\lim_{n \to +\infty}v_n=\lim_{n \to +\infty}u_n=l\)
et
\(\lim_{n \to +\infty}T_n=\lim_{n \to +\infty}2u_n+5v_n=2l+5l=7l\)

Or (Tn) est constante, donc sa limite est égale à cette constante ....

SoSMath.

[Leooooo]

heredité: on suppose que Un<=Vn pour un entier n>=0
on veut demontrer que Un+1<=Vn+1
Un+1-Vn+1<=0

Un+1-Vn+1= 3/10(Un-Vn)
donc Un<=Vn
donc la proposition est vraie pour tout n>0

2b)
Un+1-Un=(-Un+Vn)/2

Un est croissante

Vn+1-Vn=(Un-Vn)/5
Vn est decroissante


c) Un est majore et croissante donc convergente
Vn est minoré et croissante donc convergente

3a)
Wn=Vn-Un
Wn= 3/10(Un-Vn)

raison 3/10
b)Wn:q=3/10

donc -1<=3/10<=1
donc la suite est convergente vers 0
c'est pour cette question que peut on en deduire pour les suites (Un) et (Vn) que j'ai besoin de vous
la limite de Wn = l-l'
merci

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
quelle est ta question?
SoS-math