Conjecture

[Tib]

Bonsoir !!

Je n'arrive pas à faire quelque chose dans un exercice sur les suites dont voici l'énoncé :
<< On considère deux suites (u(n)) et (v(n)) avec u(0)=2 et pour tout n appartenant à l'ensemble des entiers naturels:
u(n+1)=(5u(n)-1)/(u(n)+3)
v(n+1)=1/(u(n)-1)>>

Il faut d'abord conjecturer une expression de v(n). Je l'ai fait grâce à un tableur Excel et je trouve v(n)=1+1/4n (j'ai vérifié, ça marche).
Puis on obtient pour u(n): 1/((1+1/4n)-1)

Mais lorsque j'essaie de démontrer la formule de u(n), je pars dans des calculs incompréhensibles. Y a-t-il un moyen de simplifier l'expression ?

Lorsque je démontre par récurrence en prenant k un entier naturel et k+1 de rang supérieur pour démontrer l'hérédité, j'ai :

u(k+1)=(5u(k)-1)/(u(k)+3) = (5(1/(1/4n+1)+1)/(1/(1/4n+1)+3)

C'est compliqué et je me perds complètement.

[SoS-Math(25)]

Bonsoir,

Je n'ai pas très bien compris le déroulement de ton devoir. Dois-tu conjecturer une expression pour \(V_n\) et en déduire une expression de \(U_n\) en fonction de \(n\) ?

Tu as donc \(~V_n = 1 + \frac{1}{4n}\) (en mettant tout sur 4n ce serait peut-être plus simple ?)

Grâce à l'égalité : \(~V_n = \frac{1}{U_n - 1}\) tu devrais pouvoir obtenir une expression de \(U_n\).

Puis on obtient pour u(n): 1/((1+1/4n)-1)

J'ai l'impression que tu as inversé \(V_n\) et \(U_n\). Reprends et simplifie ton expression de \(U_n\).

Tu sembles connaître toute la marche à suivre ensuite.

Bon courage !

[Tib]

En fait, j'ai fait une faute de frappe. L'expression de v(n) à conjecturer est : v(n) = (4+n)/4 --> j'ai simplement mis tout au même dénominateur
Donc je trouve pour u(n) :
v(n) = 1/(u(n)-1) <--> v(n)*(u(n)-1) = 1 <--> u(n)-1 = 1/v(n) <--> u(n) = 1/v(n) +1

Donc ça donne en remplacer v(n) : u(n) = 8/(4+n)

[sos-math(20)]

Je ne suis pas d'accord avec ta toute dernière expression de Un; tu sembles avoir oublié de prendre 1/Vn.

Bon courage pour reprendre ton calcul.

SOSmath