SOS-MATH

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour mon dm.
Le sujet est le suivant :
On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :
le système U0 = 0
U(n+1)= (2(Un) + Vn)/3

et V0 = 2
V(n+1) = (Un + 2(Vn))/3

1- Calculer U1,U2 et V1, V2
2-On considère la suite (dn) définie pour tout entier naturel n par dn = Vn-Un.
a- Montrer que (dn) est une suite géométrique.
b- Donner l'expression de dn en fonction de n.
3- Soit Sn = Un+Vn pour tout {n} \ge {0}
a- Calculer S0, S1, S2
b- Montrer que S (n+1) = Sn. Qu'en déduit on ?
4- En déduire Un et Vn en fonction de n.
5- Déterminer en fonction de n
Un = U0+U1+...+Un et Vn =V0+V1+...+Vn

J'ai à peut prêt tout fais sauf la dernière sur laquelle je coince vraiment.
Sachant que vn = (1/3)^n +1 et un = 1-(1/3)^n pourriez vous me donner des indications pour avancer ?
Merci

Bonjour,
Si je me base sur tes expressions, tu as \(u_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n+1\) donc \(U_n=u_0+u_1+u_2+...+u_n=(1+1)+(\frac{1}{3}+1)+(\left(\frac{1}{3}\right)^2+1)+...+(\left(\frac{1}{3}\right)^n+1)\) soit \(U_n=(1+1+....+1)+(1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2+...+\left(\frac{1}{3}\right)^n)\)
La première partie est facile à calculer, la seconde correspond à la somme des premiers termes d'une suite géométrique : c'est une formule du cours.
Bon courage

Merci je crois avoir compris grâce à vous.

A bientôt sur SOSmath Margaux.