SOS-MATH

bonjour,
je suis en train de faire un exercice pour mon Dm

On considère les suites (Un) et (Vn) definies par U0=2 et pour tout n € N
Un+1= 5Un-3/Un+1
Vn= Un-1

1)après avoir calculé les 4 premiers termes de chacune des suites, conjecturer une formule explicite pour Vn
2) deduire une conjecture pour Un
3) la demontrer

j'ai trouvé Vn= 1(1/2)^n

pour le 2 Un= Vn-3/Vn-1 donc Un=-(1/2)^n-3/-(1/2)^n-1

pour la demonstration du 3 j'ai 5((-(1/2)^n-3/-(1/2)^n-1)-3))/(-(1/2)^n-3/-(1/2)^n-1)) je n'arrive par a le developper le résultat n'est pas correcte pour la demonstration pouvez vous m'aider
merci

Bonsoir Camille,

Je ne peux pas t'aider car il doit manquer des parenthèses dans ton "Un+1" ...
D'ailleurs \(U_n+1\ne U_{n+1}\) le "+1" n'est pas placé au même endroit.

As-tu \(u_{n+1}=\frac{5u_n-3}{u_n+1}\) ou autre chose ?

Peux-tu me redonner \(u_{n+1}\) avec des parenthèses ou bien utilise le bouton "éditeur d'équation" pour écrire avec des fractions ?

SoSMath.

bonsoir,
mon équation est : voir image

Camille,

avec \(u_{n+1}=\frac{5u_n-3}{u_n+1}\) et \(v_n=u_n-1\)

je trouve \(v_n=\frac{2^{n+1}}{1+2^{n}}\).

Je ne sais pas comment tu as trouvé ton Uk+1 ....

Pour faire la question 3, il faut utiliser un raisonnement par récurrence !

SoSMath.

pour la question 2 j'ai trouvé Un=1/2^n+3/1/2^n+1

donc pour la 3 pour Un+1 j'ai remplacé Un par ce que j'ai trouvé et c'est cette equation que je n'arrive pas a developper
merci pour votre reponse

Bonjour Camille,

Pour la question 3, il faut faire un raisonnement par récurrence :

propriété P(n) : pour tout entier n : Un=1/2^n+3/1/2^n+1

Initialisation : il faut vérifier que ta "formule de Un" marche pour n=0

hérédité : On suppose qu'il existe un entier n tel que P(n) soit vraie.
Il faut montrer que P(n+1) est vraie.

conclusion : ....

A toi de faire cette démonstration.

SoSMath.

bonjour,

j'ai compris qu'il faut faire l'initialisation puis hérédité

pour l’hérédité j'ai Un+1 comme sur l'image que je vous ai envoyé mais je n'arrive pas à trouver 3+(1/2)^n+1/1+(1/2)n+1

j'ai développé l'image que je vous ai envoyé mais je ne sais pas si c'est ce qu'il faut faire car je n'arrive pas à mon résultat

merci de m'indiquer si possible mon erreur et la demarche

Camille,

ton erreur doit venir de ta conjecture sur Un ... elle doit être fausse.

Pour Vn la conjecture est : \(v_n=\frac{2^{n+1}}{1+2^{n}}\)

Or Un = Vn + 1, donc Un = ... (à toi de faire le calcul).

SoSMath.

mon enoncé n'etait peut etre pas clair
mais dans l'enoncé on nous donne Vn=Un-3/Un-1
et non Vn=Un-1 comme vous avez noté

donc Vn= -(1/2)^n

ensuite j'ai trouvé Un=(1/2)^n+3/(1/2)^n+1

Tout cela est bien Camille.
Pour ta récurrence, repars de l'image que tu nous a envoyée, et commence par réduire au même dénominateur. Ensuite, simplifie au maximum ton expression.

SOSmath

bonjour
je reviens vers vous car j'ai mis au même dénominateur et simplifier mais je ne trouve pas 2(3+(1/2)^n+1)/2(1+(1/2)^n+1)

numerateur 5(3+(1/2)^n)/(1+(1/2)^n)le tout -3

jai trouvé 15+5(1/2)^n-3-3(1/2)^n/1+(1/2)^n

soit 12+2(1/2)^n/1+(1/2)^n

le denominateur

3+(1/2)^n/1+(1/2)^n le tout +1

4+2(1/2)^n/1+1/2^n

donc j'ai multiplier le resultat de mon numerateur par l'inversedu denominateur

je trouve 6+(1/2)^/2+(1/2)^n

je n'ai pas de ^n+1 j'ai du faire une erreur

pouvez vous m'aider
merci

Tout ce que tu as fait est parfait, Camille.
Maintenant, multiplie le dénominateur ET le numérateur de ta dernière fraction par \(\frac{1}{2}\) et tu obtiendras le résultat que tu veux.

Bonne journée.

SOSmath

bonsoir

pouvez vous m'expliquer pourquoi vous multiplier le numerateur et le denominateur par 1/2

merci

Bonsoir Camille,

Fais le et tu comprendras pourquoi .....
N'oublie pas que tu veux obtenir une certaine expression pour \(u_{n+1}\) et je t'aide à la faire "apparaître".

Bonne soirée

SOSmath