SOS-MATH

Bonjour !

J'ai besoin d'aide pour terminer mon exercice dont voici l'énoncé :
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;i;j). A tout point M du plan d'affixe z (z différent de 0) on associe le point M' d'affixe z' = -1/z(barre). On pose z = x+iy et z' = x'+iy'.
Exprimer x' et y' en fonction de x et y.
En déduire que les points O, M et M' sont alignés.

Donc pas de souci pour la première question (voir réponses ci-après) :
x' = -x / (x2+y2)
y' = -y / (x2+y2)
S'il n'y a pas d'erreurs !

Mais comment fait-on pour dire que les points sont alignés ? Le recours aux vecteurs ?
Dans ce cas, je dois démontrer qu'ils sont colinéaires (vecteur OM et OM').
C'est-à-dire : z(M)-z(O) = k * (zM')-z(O)
Mais ça ne marche plus après !

Merci donc d'avance pour votre aide.

Bonjour Sophie,

x' et y' sont justes !
Ta méthode marche ...
z(M)-z(O) = k * (zM')-z(O) <=> x+iy = k(x'+iy') <=> x = k x' et y = k y' <=> ...

Tu peux aussi repasser par les coordonnées des vecteurs \(\vec{OM}\) et \(\vec{OM'}\) et vérifier la conditions de colinéarité (xy'-x'y=0).

SoSMath.

Oui, j'obtiens bien un rapport : x' + y' = k(x+y) donc les vecteurs sont colinéaires.
Dois-je mette le i dans l'expression ?

Sophie,

Non, tu n'as pas "x' + y' = k(x+y) " mais x+iy = k(x'+iy') qui te donne en identifiant les parties réelles et imaginaires : x = k x' et y = k y' .
Il faut donc vérifier que x/x' = y/y' (=k).

SoSMath.

D'accord. Mais finalement, rien qu'en écrivant x+iy = k(x'+iy') on montre que les vecteurs sont colinéaires.

Oui, puisque\(x+iy\) correspond à l'affixe du vecteur \(\vec{OM}\).
à bientôt