SOS-MATH

Bonjour,
Soit (Un) une suite. A l'origine, les suites sont définies comme des fonctions allant de N dans R; j'en déduis que la limite de U quand x tend vers un entier naturel a est égal à U(a) noté Ua puisque la fonction U n'existe que sur les entiers naturels donc en des points tous isolés.
Et par conséquent, toute suite est continue sur N.
Ai-je raison ?
Merci de votre aide.
Cordialement,
Cédric

Bonsoir Cédric,

Non, on ne peut pas parler de "suite continue", cela n'a pas de sens ...
De plus, la limite d'une suite n'est pas obligatoirement un entier !
Exemples : * la suite de terme général \(u_n=(-1)^n\) n'a pas de limite en l'infini.
* la suite constante \(u_n=\sqr{2}\) a pour limite \(\sqr{2}\) qui n'est pas un entier !

SoSMath.

Bonjour,
j'ai réfléchi à votre réponse et je ne la comprends pas.
Prenons l'exemple de la suite (Un) telle que Un=(-1)puissance n.
Je suis tout à fait convaincu que la limite de cette suite n'existe pas mais envisageons cette suite en tant que FONCTION de N dans R (comme on nous a défini une suite en 1S); prenons un entier naturel n0 de N, ensemble de départ, on a bien la limite de U(x) quand x tend vers n0 qui est égale à U(n0) puisque U est définie uniquement en n0 et pas au voisinage de n0.
Pour regarder la continuité de U en n0, il s'agit de regarder la limite en n0 et pas en l'infini, à mon sens.
Et ainsi, U est bien défini en n0.
Pourriez-vous y réfléchir à nouveau et m'apporter votre avis.
respectueusement,
Cédric.

Bonsoir Cédric,

Pour étudier la limite d'une fonction lorsque x tend vers un réel a, il faut pouvoir s'approcher de a, aussi près que l'on veut, tout en restant dans l'ensemble de définition de f.

Or pour que cette condition soit satisfaite, il faut que tout intervalle ouvert contenant a, contienne d'autres éléments de Df que a.( mais a n'est pas forcément dans Df)
Ce qui peut s'écrire de façon plus rigoureuse : quelque soit l'intervalle I qui contient a, alors \((I-{a}) \cap Df\neq\)ensemble vide.

Si la fonction est définie sur IR, ça ne pose aucun problème, mais pour une fonction définie sur IN, comme une suite, cette condition n'est pas vérifiée.
En effet , par exemple , en prenant a=3, l'intervalle ]2,5 ; 3,5[ n'a que 3 comme réel commun avec Df=IN. On dit que 3 est un point isolé dans IN. C'est pour celà que l'on ne peut étudier la limiter d'une suite lorsque n tend vers 3, ni lorsque n tend vers n'importe quel autre entier, ni même lorsque n tend vers n'importe quel réel a ( qui sera toujours isolé dans IN).

Bon , alors , et l'infini ? D'abord nous allons faire comme si l'infini était un élément de IN. Ceci accepté , considérons un intervalle ouvert contenant l'infini, du type ]b ; infini[. Alors cet intervalle contient des éléments de IN, donc l'infini n'est pas isolé, et donc on peut étudier la limite d'une suite lorsque n tend vers l'infini.

Bilan : on ne peut parler de la limite d'une suite en un réel quelconque, donc on ne peut parler de continuité d'une suite.

voir la définition de la continuité d'une fonction ( une suite est une fonction) sur wikipédia. Il est bien précisé que I est un intervalle réel. http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuit%C3%A9
bonne réflexion

sosmaths