Nombres complexes

[Marie]

Bonjour, j'ai un dm que je n'ai absolument pas compris. L'énoncé est donc :

Exercice 1: soit x appartient à R. Écrire sous la forme algébrique le complexe Z=3x + i(ix + 7x) +5i -2ix

J'ai trouvé Z= 2x+5i+5xi mais ce résultat me semble bizarre

Exercice 2: soit z=x+iy avec x et y réels. On pose pour z différent de i , Z=(z+1)/(z-1)
1) exprimer les parties réelle et imaginaire de Z en fonction de x et y
2) on munit le plan d'un repère orthonormé. Déterminer puis construire l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z soit réel puis l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z soit imaginaire pur.

Merci d'avance

[sos-math(27)]

Bonjour MArie,
Pour l'exercice 1 , le résultat que tu donnes n'est pas encore la forme algébrique du complexe, il faut l'écrire sous la forme : a + i b ( et donc mettre i en facteur dans la seconde partie de l'expression.

exercice 2 : il faut écrire le calcul en remplacant z par x+ iy, techniquement, pour transformer le quotient, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur (technique que tu as dû voir en classe ).
Le début du calcul est donc : \(Z=\frac{x+iy+1}{x+iy-1}\) quel est le conjugué de \(x+iy-1\) ?
à bientôt

[Marie]

Tout d'abord merci d'avoir répondu aussi vite.
Pour l'exercice 2, je me suis trompée Z=(z+1)/(z-i)
Le conjugué est alors (x-iy+i)/(x-iy+i) ou (x-iy-i)/(x-iy-i)?
J'ai essayé avec la première proposition de conjugué et j'obtiens un résultat assez étrange de l'ordre de [xcarré-xi-(iy)carré -icarréy + x-iy-i]/[xcarré-2xi-(iy)carré+icarré]
Merci d'avance

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Marie,

Le conjugué d'un nombre complexe est le nombre complexe qui a :
pour partie réelle, la même partie réelle
pour partie imaginaire, l'opposé de la partie imaginaire.

Ainsi si \(z=x+iy\) son conjugué est \(x-iy\).
\(x+iy-1=x-1+iy\) je te laisse finir ce travail.

Bon courage.

[Marie]

Bonsoir,
Ce que je ne comprend pas c'est comment je peux trouver le conjugué d'un nombre qui a deux i séparer comme x+iy-i
Ou dois-je changer le signe, je suis assez perdue dans tout ça, d'autant plus que c'est une fraction.
Merci

[SoS-Math(25)]

Bonjour Marie,

Si a, b et c sont des nombres réels, le conjugué de a +ib +ic est a -ib -ic... (a + ib + ic = a + i(b+c))

Bon courage !

[Marie]

Bonjour,
Merci pour toute les infos que vous me donnez puisque je me rend compte que mon prof ne nous a rien dit de tout cela.
Pourriez vous m'expliquer quel protocole je dois suivre pour répondre à la dernière question,
Merci

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marie,

Pour la question 2 de l'exercice 2, le protocole est simple :
Z est réel <=> sa partie imaginaire est nulle.
Z est imaginaire pur <=> sa partie réelle est nulle.

Donc il te faut déterminer la forme algébrique de Z ...

Je t'aide un peu pour le début : \(Z=\frac{x+iy+1}{x+iy-1} = \frac{(x+iy+1)(x-iy-1)}{(x+iy-1)(x-iy-1)}\) j'ai multiplié par le conjugué de x+iy-1 au numérateur et au dénominateur de ta fraction.
Il te reste à simplifier Z pour obtenir sa partie réelle et sa partie imaginaire.

SoSMath.