SOS-MATH

bonjour,

On suppose que sur une période donnée, la population d'un pays est constante et égale à 60 millions d'habitants. Ces habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville et on constate que les mouvements de population sont décrits par la règle suivante :
Chaque année, 20% des ruraux émigrent à la ville et 10% des citadins émigrent en zone rurale.
Au 01/01/2010, on compte 20 millions de citadins et 40 millions de ruraux.
On note respectivement Vn et Rn les effectifs (en millions) des citadins et des ruraux, au bout de n années.
On a donc Vo = 20 et Ro = 40.

1) Montrer que, pour tout n appartenant à N, on a :
Vn+1 = 0.9Vn + 0.2Rn
Rn+1 = 0.1Vn + 0.8Rn

2) Pour tout n appartenant à N, on pose Sn = Vn + Rn
a) Expliquer à l'aide du contexte pourquoi (Sn) est une suite constante et préciser la valeur de Sn pour tout n.
b) Retrouver ces résultats à l'aide de la question 1).
c) En déduire que pour n supérieur ou égal à 0 on a :
Vn+1 = 0.7Vn +12
Rn+1 = 0.7Rn + 6

3) Pour n appartenant à N on pose Wn = Vn - 40.
a) Prouver que la suite (Wn) est géométrique et donner l'expression de Wn en fonction de n.
b) En déduire l'expression de Vn puis deRn en fonction de n.
c) determiner le sens de variation des suites (Vn) et (Rn)
b) Déterminer au bout de combien d'années on aura, selon ce modèle :

Vn supérieur ou égal à 39 et Rn inférieur ou égal à 22. Vn superieur ou égale à Rn
2 c) j'ai Vn=60-Rn
Rn=60-Vn

Vn+1=0.9Vn+0.2Rn
Rn+1=0.1Vn+0.8Rn

Vn+1= 0.9Vn +12-0.2V
Vn+1=0.7Vn + 12

Rn+1 =6+0.7Rn

pour la 3 b j'ai trouvé Vn= 40-20x0.7^n et Rn= 20+20x0.7^n
j'ai calculer Vn+1 -V et j'ai trouvé -14x0.49^n+20x0.7^n-12?
pour Rn +1-R j'ai trouvé 14x0.49^n-20x0.7^n ?

la derniere question
Vn superieur ou égale à Rn 40x0.7Ninferieur ou egale à 20



pouvez vousm'aider pour la 3 b et la derniere question je ne sais pas le faire
merci beaucoup

Bonsoir,
Le début est correct (tu ne réponds pas à la 2b : il faut sûrement faire une récurrence).
Pour le sens de variation : si \(v_n=40-20\times0,7^n\), alors \(v_{n+1}=40-20\times0,7^{n+1}\) et \(v_{n+1}-v_n=(40-20\times0,7^{n+1})-(40-20\times0,7^{n})=-20\times0,7^{n+1}+20\times 0,7^{n}=-\underbrace{-20\times 0,7^n}_{\mbox{facteur commun}}\times 0,7+\underbrace{20\times 0,7^n}_{\mbox{facteur commun}}\)
Je te laisse factoriser pour trouver le signe de cette différence et en déduire le sens de variation de la suite.
Bon courage

bonjour, merci pour votre reponse dont Vn= (-20x0.7^n)(0.7^nx-1) donc negatif x negatif = possitif donc Vn esp croisante

je vais faire de même pourRn j'ai compris mon erreur

pouvez vous me donner une piste pour la 4
merci beaucoup

Bonjour,
je ne comprends pas trop ta réponse :

Vn= (-20x0.7^n)(0.7^nx-1)

: que vient faire ce x après le 0.7. Peut-être est-ce une faute de frappe car la démarche semble correcte.
Je suis d'accord avec ta conclusion.
Fais de même pour la deuxième suite.
Je n'ai pas de question 4 dans l'énoncé que tu as envoyé...
Bonne continuation

bonjour,
le x signifie multiplier

4) Au bout de combien d'année aura t on selon ce modèle:
a)Vn>=Rn b)Vn>=39 c)Rn=<22

merci

Bonjour,
je ne comprends pas ce signe de multiplication.
On devrait avoir :
\(v_{n+1}-v_n=(40-20\times0,7^{n+1})-(40-20\times0,7^{n})=-20\times0,7^{n+1}+20\times 0,7^{n}=-\underbrace{-20\times 0,7^n}_{\mbox{facteur commun}}\times 0,7+\underbrace{20\times 0,7^n}_{\mbox{facteur commun}}=-20\times 0,7^n(0,7-1)=-20\times 0,7^n\times...\).
Pour la suite, je te conseille d'utiliser le mode table de ta calculatrice, de saisir les suites comme des fonctions, par exemple \(v_n=40-20\times 0,7^n\) peut être assimilée à la fonction \(f(x)=40-20\times 0,7^x\) et de regarder comment les valeurs évoluent.
Bon courage