SOS-MATH

Bonjour, je suis bloquée à la question 1-b de cet exercice car j'arrive à démontrer que 1/2<1/(2-x)<1 et que 1/e<e^-x<1 or ça me donne 1/2e<f(x)<1. Je ne trouve pas mon erreur.
Et pour la question 2)c je suis également bloquée car nous avons la valeur de J mais seulement un encadrement de k donc comment peut on faire la somme ?
Merci d'avance

Bonjour,
tu as du montrer que ta fonction est décroissante sur \([0\,;\,1]\) donc pour tout réel \(x\), tel que \(0\leq x\leq 1\), tu as \(f(1)\leq f(x)\leq f(0)\) (une fonction décroissante renverse l'ordre).
Je te laisse terminer les calculs.

Merci pour votre aide. J'ai réussit.
Mais pour la question 2)c je suis également bloquée car nous avons la valeur de J mais seulement un encadrement de k donc comment peut on faire la somme ?
Merci d'avance

On n'a pas besoin des valeurs, il s'agit seulement d'utiliser la linéarité de l'intégrale : \(J+K=\int{0}^{1}(2+x)e^{-x}dx+\int_{0}^{1}\frac{x^2e^{-x}}{2-x}dx=\int_{0}^{1}\left((2+x)e^{-x}+\frac{x^2e^{-x}}{2-x}\right)dx\).
je te laisse désormais mettre ces deux termes sous le même dénominateur et les additionner, tu dois obtenir des simplifications.
Bon courage

J'y avais pensé mais je trouvais 2xe^-x et je ne trouve pa de lien avec 4I
Merci d'avance

Tu as du te tromper dans tes calculs car quand tu mets au même dénominateur, tu obtiens :
\(\frac{(2-x)(2+x)e^{-x}+x^2e^{-x}}{2-x}\) et il faut développer (\((2-x)(2+x)\) est une identité remarquable...)
Bon calcul.

Je trouve e^-x(4-4x+2x^2)/2-x que je n'arrive pas à simplifier pour obtenir 4I

Évidemment, si tu ne connais pas tes identités remarquables :
\((2+x)(2-x)\) est de la forme \((a+b)(a-b)\) qui se développe en \(a^2-b^2\).
Reprends donc cela.