SOS-MATH

Bonjour à tous,

J'ai un devoir maison à rendre pour lundi. Dedans il y a un exercice que je ne sais pas par ou commencer. Pouvez-vous m'aider ?

Exercice : La courbe C représente la fonction x=> 1/x définie sur ]0;+l'inf[. On définie la suite (Sn) par : pour tout entier n > ou égal 1, Sn = 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n.

Prouvez que (Sn) converge et précisez sa limite.

Bonjour,
il faut que tu prouves que cette suite est croissante et majorée.
Cela te donnera la convergence.
Commence par étudier le signe de la différence \(S_{n+1}-S_n\).

Bonsoir,

D'accord. Je vais essayer de le faire car ce genre d'exercice avec les suites je ne conprends pas grand choSes..
Sn+1-Sn = 1/n+2 + 1/n+3 + ... + 1/2n+2 - 1/n+1 - 1/n+2 - ... - 1/2n = 1/2n+2 - 1/n+1 - 1/2n
Est ce bon ?

Bonjour Estelle,

Ton calcul est faux ...

\(S_{n+1}-S_n=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n})=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}\)

Reste à trouver le signe ... voici une aide : \(\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2n+2}-\frac{2}{2n+2}=\frac{-1}{2n+2}\).

SoSMath.

Bonjour,

Je ne comprends pas certaines choses dans votre calcul :
- pourquoi vous mettez 1/2n alors qu'il faut remplacer n par n+1 ?
- pourquoi vous mettez 1/2n+1 alors que la suite (Sn) s'arrête à 1/2n ?

On étudies alors le signe : 1/2n+1 - 1/2n+2 = 3/4n²+6n+2
On étudie alors le signe du polynôme : le polynôme est du signe de a = 4 à l'extérieur des racines donc sur ]0;+l'inf[, il est positif.
Par conséquent Sn+1-Sn est positif sur cet intervalle.

est ce juste ?

Estelle,

La suite Sn commence à 1/n pour finir à 1/(2n).
La suite Sn+1 commence à 1/(n+1) pour finir à 1/(2n+2).

Essaye plusieurs cas pour comprendre :
n=2
S2 = 1/2 + 1/3 + 1/4
S3 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6

n=3
S3 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6
S4 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8

...

Oui Sn+1-Sn est positif donc la suite (Sn) est croissante.

SoSMath.

Ah d'accord j'ai compris, merci de m'avoir aider.

Elle est majorée par 1/2n ?

Pour la limite : quand n tend vers +l'inf, je fais la limite du quotient 3/4n²+6n+2 ?

Non Estelle,

Le suite doit être majorée par une constante (donc pas de n ...).

Voici un peu d'aide :
Pour tout i allant de i à n, on a :
i=1 : 1 =< 1 =< n, soit 1+n =< 1+n =< n+n = 2n soit \(\frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{2n}\)
i=2 : 1 =< 2 =< n, soit 1+n =< 2+n =< n+n = 2n soit \(\frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{2+n} \geq \frac{1}{2n}\)
...
1 =< i =< n, soit 1+n =< i+n =< n+n = 2n soit \(\frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{i+n} \geq \frac{1}{2n}\)
...
1 =< n =< n, soit 1+n =< n+n =< n+n = 2n soit \(\frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{n+n} \geq \frac{1}{2n}\)

On additionne les n lignes, et on obtient : \(n\times\frac{1}{1+n} \geq S_n \geq n\times\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\).

Or \(\frac{n}{1+n} < 1\), donc Sn < 1.

SoSMath.

Ah daccord, fallais faire dans le cas général.
Donc la suite Sn est majorée par 1.

Pour la limite je fais le théorème des gendarmes ou autre chose ?

Estelle,

malheureusement le théorème des gendarmes ne va pas marcher ici car la limite en + infini de n/(n+1) donne 1 et n/(2n) donne 1/2, donc on ne peut pas conclure ...
On ne te demande pas de démontrer la limite de Sn, mais juste de la préciser ....

SoSMath.

Ah d'accord, donc la limite c'est 1.

Oui Estelle.

SoSMath.

Merci d'avoir passé du temps sur mon exercice et de m'avoir aidé car je ne comprends rien aux suites convergente et leur limite.

Bon courage pour la suite.

SoSMath.