Intégration et primitives

[Estelle]

Bonjour à tous,

J'ai un devoir maison à rendre pour lundi. Dedans il y a un exercice que je ne sais pas par ou commencer. Pouvez-vous m'aider ?

Exercice : La courbe C représente la fonction x=> 1/x définie sur ]0;+l'inf[. On définie la suite (Sn) par : pour tout entier n > ou égal 1, Sn = 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n.

Prouvez que (Sn) converge et précisez sa limite.

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut que tu prouves que cette suite est croissante et majorée.
Cela te donnera la convergence.
Commence par étudier le signe de la différence \(S_{n+1}-S_n\).

[Estelle]

Bonsoir,

D'accord. Je vais essayer de le faire car ce genre d'exercice avec les suites je ne conprends pas grand choSes..
Sn+1-Sn = 1/n+2 + 1/n+3 + ... + 1/2n+2 - 1/n+1 - 1/n+2 - ... - 1/2n = 1/2n+2 - 1/n+1 - 1/2n
Est ce bon ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Estelle,

Ton calcul est faux ...

\(S_{n+1}-S_n=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n})=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}\)

Reste à trouver le signe ... voici une aide : \(\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2n+2}-\frac{2}{2n+2}=\frac{-1}{2n+2}\).

SoSMath.

[Estelle]

Bonjour,

Je ne comprends pas certaines choses dans votre calcul :
- pourquoi vous mettez 1/2n alors qu'il faut remplacer n par n+1 ?
- pourquoi vous mettez 1/2n+1 alors que la suite (Sn) s'arrête à 1/2n ?

On étudies alors le signe : 1/2n+1 - 1/2n+2 = 3/4n²+6n+2
On étudie alors le signe du polynôme : le polynôme est du signe de a = 4 à l'extérieur des racines donc sur ]0;+l'inf[, il est positif.
Par conséquent Sn+1-Sn est positif sur cet intervalle.

est ce juste ?

[SoS-Math(9)]

Estelle,

La suite Sn commence à 1/n pour finir à 1/(2n).
La suite Sn+1 commence à 1/(n+1) pour finir à 1/(2n+2).

Essaye plusieurs cas pour comprendre :
n=2
S2 = 1/2 + 1/3 + 1/4
S3 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6

n=3
S3 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6
S4 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8

...

Oui Sn+1-Sn est positif donc la suite (Sn) est croissante.

SoSMath.

[Estelle]

Ah d'accord j'ai compris, merci de m'avoir aider.

Elle est majorée par 1/2n ?

Pour la limite : quand n tend vers +l'inf, je fais la limite du quotient 3/4n²+6n+2 ?

[SoS-Math(9)]

Non Estelle,

Le suite doit être majorée par une constante (donc pas de n ...).

Voici un peu d'aide :
Pour tout i allant de i à n, on a :
i=1 : 1 =< 1 =< n, soit 1+n =< 1+n =< n+n = 2n soit \(\frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{2n}\)
i=2 : 1 =< 2 =< n, soit 1+n =< 2+n =< n+n = 2n soit \(\frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{2+n} \geq \frac{1}{2n}\)
...
1 =< i =< n, soit 1+n =< i+n =< n+n = 2n soit \(\frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{i+n} \geq \frac{1}{2n}\)
...
1 =< n =< n, soit 1+n =< n+n =< n+n = 2n soit \(\frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{n+n} \geq \frac{1}{2n}\)

On additionne les n lignes, et on obtient : \(n\times\frac{1}{1+n} \geq S_n \geq n\times\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\).

Or \(\frac{n}{1+n} < 1\), donc Sn < 1.

SoSMath.

[Estelle]

Ah daccord, fallais faire dans le cas général.
Donc la suite Sn est majorée par 1.

Pour la limite je fais le théorème des gendarmes ou autre chose ?

[SoS-Math(9)]

Estelle,

malheureusement le théorème des gendarmes ne va pas marcher ici car la limite en + infini de n/(n+1) donne 1 et n/(2n) donne 1/2, donc on ne peut pas conclure ...
On ne te demande pas de démontrer la limite de Sn, mais juste de la préciser ....

SoSMath.

[Estelle]

Ah d'accord, donc la limite c'est 1.

[SoS-Math(9)]

Oui Estelle.

SoSMath.

[Estelle]

Merci d'avoir passé du temps sur mon exercice et de m'avoir aidé car je ne comprends rien aux suites convergente et leur limite.

[SoS-Math(9)]

Bon courage pour la suite.

SoSMath.