SOS-MATH

Bonsoir

j'aimerais avoir quelques explications concernant un chapitre qui n'est pas du tout au programme de terminale. Merci de pouvoir m'aider.

Soient E et F deux espaces vectoriels tels que E=vect((1,0)) et F=vect((0,1)).
Je confonds les espaces vectoriels suivant F+E et FxE ; je n'arrive pas à les diffencier. Lequel correspond à un plan ? à quoi correspond l'autre ? Est ce F×E ou F+E qui a pour vect : vect((1,0),(0,1)) ?? quel est le vect de l'autre ?
Je confonds totalement ces deux notions, je n'arrive pas à les différencier ? pouvez vous m'éclairer svp ? avec des exemples si possible.


Merci infiniment

Bonjour,
l'espace \(E\times F\) est le produit cartésien des deux espaces c'est l'ensemble des couples \((x\,;\,y), \mbox{avec}\,x\in E\,\mbox{et}\,y\in F\).
C'est un espace vectoriel.
L'espace \(E+F\) est la somme des deux espaces, c'est l'ensemble des éléments \(z\) du plan tels que \(z=x+y, \mbox{avec}\,x\in E\,\mbox{et}\,y\in F\).
C'est un espace vectoriel qui est formé des combinaisons linéaires de \((1;0)\) et \((0;1)\) donc on a \(E+F=Vect\lbrace{(0;1),(1;0)\rbrace\), et c'est un plan vectoriel.
Est-ce plus clair ?

Merci pour votre réponse
c'est donc la somme et non le produit qui définit un plan ?

Bonsoir,
tout dépend de quoi on parle.
Si E et F sont deux sous-espaces d'un autre espace vectoriel \(\Omega\), alors \(F+G\) est aussi un sous espace-vectoriel de \(\Omega\) de dimension \(dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(F\cap G)=1+1-0=2\), car \(F\cap G={0}\) : on peut donc parler de plan dans \(\Omega\).
Mais on peut aussi considérer que \(F\times G\) est un sous-espace vectoriel de \(\Omega\times \Omega\), de dimension \(dim(F)+dim(G)=2\) !
À toi de trouver dans ma réponse ce qui te manquait.
Bonne continuation