SOS-MATH

Bonjour à tous,

J'ai un exercice type "activités de recherche" à faire et j'aimerai savoir si j'ai assez développé mes réponses car c'est un exercice où faut approfondir je pense.

A) Observation

1) Si n=1, 2^n-1=1 ; si n=2, 2^n-1=3 ; si n=3, 2^n-1=7 ; si n=4, 2^n-1=15 ; si n=5, 2^n-1=31 ; si n=6, 2^n-1=63 ; si n=7, 2^n-1=127 ; si n=8, 2^n-1=255 ; si n=9, 2^n-1=511 ; si n=10, 2^n-1=1023

2) Le nombre 2^n-1 est premier pour n=2, n=3, n=5 et n=7.
On peut alors conjecturer : Si 2^n-1 est premier alors n est premier.

B) Démonstration

1) a. C'est une suite géométrique de raison 2^p. On sait que Somme des termes = 1er terme*(1-raison^nbre de terme)/1-raison. Donc 1+2^p+...+(2^p)^pq = 1*(1-2^pq)/1-2^p

b. 2^n-1 = (2^p-1)(1+2^p+...+(2^p)^q-1) avec (2^p-1) > 1

On en déduis alors que 2^n-1 n'est pas premier et la condition est nécessaire.

c. 2^33-1 est divisible par 2^3-1 ou 2^11-1 car 33 est divisible par 3 et 11.
2^33-1 est donc divisible par 7.

2) a. 2^11-1 = 2047 = 23*89

b. (Fallais pas la faire)

3) Il ets nécessaire, mais pas suffisant, que n soit premier pour que le nbre de Mersenne 2^n-1 soit premier. La réciproque "Si n est premier alors 2^n-1 l'est aussi" est donc fausse.


La partie C est en pièce jointe.

Merci de bien vouloir me corriger.

Bonjour Estelle,

J'ai regardé rapidement ton travail. Cela semble correcte.

Pour la partie C, il faut juste faire des calculs ...

SoSMath.

Bonjour,

Ma partie C est en pièce jointe et je n'ai fais que des calculs.

Estelle,

Tes calculs semblent corrects.

SoSMath.

Merci SOS maths de m'avoir corriger.

A bientôt.

SoSMath.