Limite à démontrer en un point

[Ali]

Bonjour

je dois utiliser la définition de la limite en point pour demontrer qu'elle existe

soit la fonction

\(f(x)=\frac{x^2+x+1}{x-1}\) et la limite à demontrer est: limite f(x) = 7 quand x tend vers 2

donc la définition :\(\forall \epsilon>0, \exists \alpha>0:|x-2|<\alpha \Longrightarrow |f(x)-7|<\epsilon\)

le but est de trouver \(\alpha>0\) afin de démontrer que f admet comme limite 7 au voisinage de 2

Je débute de: \(|f(x)-7|<\epsilon\), d'ou j'obtiens après calcul:
\(|x-2|\frac{|x-4|}{|x-1|}<\epsilon\)

d'où: \(|x-2|<\epsilon\frac{|x-1|}{|x-4|}\)

je dois majorer cette quantité : \(\frac{|x-1|}{|x-4|}\)

\(\alpha>0\)dépendra de la valeur de \(\epsilon >0\) mais aussi de l'amplitude prise en compte au voisinage de 2

je prends un intervalle comprenant 2 et d'amplitude 1/2:
\(3/2<x<5/2\) d'où \(1/2<x-1<1/2\) mais je bloque pour encadrer \(|x-1|\)

de même au niveau de l'encadrement de : \(1/|x-4|\)

ce que je sais c'est d'arriver à identifier un \(\alpha\) en fonction de \(\epsilon\)
merci pour l'aide

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Je pense que tu dois étudier la fonction \(\frac{|x-1|}{|x-4|}\) pour \(\frac{3}{2}\leq x \leq \frac{5}{2}\) au lieu d'essayer d'encadrer séparément les deux valeurs absolues.
Cette étude doit te permettre de définir \(\alpha\).

Bon courage

[ali]

Merci pour la réponse.