SOS-MATH

Bonsoir

J'ai une question un peu bête
w(n)=e^(2i(pi)/n) pourquoi on ne peut pas réduire e^((2i(pi))/n)=1^(1/n)=1 ???

Merci d'avance

Bonjour,
dans ce que tu écris tu appliques une règle de calcul valable uniquement dans le corps des nombres réels et pour certains réels.
si \(a\) est un nombre réel positif, le nombre\(a^{\frac{1}{n}}\) est l'unique solution de l'équation \(x^n=a\) : dans ce cas, on peut parler de racine \(n\)-ème mais dans le cas général, notamment avec des nombres négatifs, la racine n-ème n'existe pas toujours donc le passage de \(a\) à \(a^{\frac{1}{n}}\) n'est pas toujours licite.
A plus forte raison dans les complexes : l'équation \(z^n=a\) a n solutions dans \(\mathbb{C}\), passer de \(z^n=a\) à \(z=a^{\frac{1}{n}}\) supposerait qu'il n'y en ait qu'une, ce qui est faux.
Je ne sais pas si tu as compris mes explications mais, en tout cas, ton calcul est faux.
Bonne continuation

Merci pour ces explications mais je vous avoue que je ne comprends toujours pas pourquoi on peut élever w(n) à une puissance entière et pas à une puissance fractionnaire ?

Re-bonjour,
élever à une puissance entière est toujours possible car elle correspond à une opération arithmétique unique : la multiplication réitérée, ceci est donc possible pour tous les nombres, réels ou complexes.
Prendre une puissance fractionnaire ne correspond pas à une opération arithmétique, il s'agit de remonter un processus et ce n'est pas toujours possible. De plus, lorsque c'est possible, il n'y a pas forcément qu'une solution.
Un exemple simple : élever au carré est toujours possible, il suffit de multiplier un nombre par lui-même. Prendre la racine carrée n'est pas toujours possible, notamment dans le corps des réels, par exemple dès qu'on prend un nombre négatif, c'est impossible. Dans le corps des nombres complexes, l'équation \(z^2=a\), ayant toujours deux solutions, on ne peut pas définir de racine carrée de manière unique, l'opération n'est pas automatique donc on ne peut pas prendre LA racine n-ième d'un nombre complexe ; ce qui explique que l'opération que tu faisais est fausse.
Bonne continuation

Je pense avoir compris merci infiniment.
Dans mon cours il y a écrit qu'on ne peut mas définir la racine carrée d'un nombre complexe car elle ne vérifie pas les règles de calculs usuelles, et donc ici c'est la même chose sauf que ce n'est pas la racine carrée mais la racine énième, c'est ça ?

Oui, c'est la même problématique mais au rang n.
Bonne continuation

Merci encore
J'ai une autre question.
Dans un exercice ils demandent:
Soit (u,v) appartenant à C^2 tel que pour tout x de R, u+2Re(ve^(-x))=0. Montrer que u=v.

Dans la correction pr démonter ce qui est demandé, ils posent tout d'abord x=arg(v) puis x=arg(v)-pi.
Je ne comprends pas pourquoi on a le droit de faire ça ? Si on fait ça, on étudie des cas particuliers non ? Dans la consigne il y a écrit pour tout x et non pr des cas particuliers.

Merci de bien vouloir m'éclairer

Bonsoir,

Si \(u = a+b\times i\) et \(v = c + d \times i\) tu dois démontrer que \(a = c\) et \(b = d\).

la méthode consiste à choisir astucieusement deux valeur de \(x\), ce qui peut être fait puisque c'est pour tout \(x\), l'une pour démontrer que \(a = c\) puis l'autre que \(b = d\).

Bon courage

mais donc on a a=c et b=d juste pour des cas particuliers ? On n'a pas démontrer quelque chose de général ?

Bonjour,
le principe ici est que l'on a une relation valable pour tout x réel. Cela signifie que l'égalité est vraie pour n'importe quelle valeur que nous allons donner à x.
Une condition de ce type est tellement forte que cela va imposer des choses sur u et v.
L'idée est donc de bien choisir les valeurs de x afin de mettre en évidence des relations entre u et v.
Ceci dit, es-tu sûr de l'égalité reliant u et v ?
Vérifie cela.
Bon courage