Jack

[Exercice]

Bonjour, j'ai un exercice de math et je rencontre quelques difficultés..
On donne la suite (Un) géométrique de premier terme 20 et de raison 0.8 ainsi que la suite (Vn) telle que Vn=ln(Un)

1) Démontrer que cette suite est arithmétique et en déterminer la limite ?
Comment faut-il commencer ?

[sos-math(28)]

Bonjour Jack
Commence par revoir comment on montre qu'une suite est arithmétique. Ensuite il te suffit de calculer Un puis Vn et d'utiliser les propriétés algébrique de la fonction ln.
Bon courage

[Jack]

Alors Un=20 x 0.8^n
Donc Vn= ln(20 x 0.8^n)

Pour démontrer qu'elle est arithmétique :
Vn+1 - Vn= ln(20 x 0.8^(n+1)) -ln (20 x 0.8^n)
= ln(20 x 0.8^(n+1))/ (20 x 0.8^n)

Mais ensuite je ne sais pas comment pas comment avancer dans mon calcul ?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Jack,

Tu as \(ln(\dfrac{20\times 0,8^{n+1}}{20\times 0,8^n})\)

En simplifiant la fraction, tu auras le résultat souhaité.

A bientôt !

[Jack]

Est ce possible que cela me donne 1 ?
Désolé mais je ne suis pas doué pour réduire les fractions avec exposants..

[sos-math(20)]

Non, cela ne donne pas 1!
Simplifie la fraction à l'intérieur du logarithme : par 20 et aussi par \(0,8 ^n\), sachant bien sûr que \(0,8 ^{n +1}= 0,8 ^n \times 0,8 ^1\).

Bon courage.

SOS-math

[Jack]

Ah d'accord merci j'y suis arrivé, ça donne Vn=ln20+n*ln0.8
J'aurai juste une dernière question : On me demande de calculer la limite de la suite Vn
Vn= ln (Un) et Un=20x0.8^n
Si je trouve la limite de Un est ce que je peux dire que la limite de Vn est la même ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
quelle est la limite de la fonction affine définie par \(f(x)=\ln(0,8)x+\ln(20)\) lorsque \(x\to+\infty\) ?
Trouve la et tu sauras la limite de la suite \(V_n\).
La limite de la suite \(U_n\) n'est pas la même.
Bon courage