SOS-MATH

Bonjour j'ai un Dm de math, j'ai commencé mais je suis bloqué à des endroits..
On donne la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par Un+1=1/(2-Un) et Uo=1/2

1)Démontrer par récurrence que Un=(n+1)/(n+2). En déduire le signe de Un pour tout n appartenant à N

J'ai commencé comme ça :
Initialisation : Uo=1/2 et Un=2/3
La propriété est vraie au rang 0 et au rang 1
Hérédité :
Je dois montrer que si la propriété est vraie au rang k alors elle l'est aussi au rang k+1
C'est à dire que si Uk=k+1/k+2 alors Uk+1=(k+1)+1)/(k+1)+2

Je ne sais pas comment avancer là
Merci pour votre aide

Bonjour Lili
Bien, tu as l'initialisation (une seule vérification suffisait : au rang 0)
Tu sais ce que tu dois démontrer : \(u_{k+1}=\frac{(k+1)+1}{(k+1)+2}\), à partir de ce que tu supposes vrai à savoir \(u_{k}=\frac{k+1}{k+2}\) or tu sais que
\(u_{k+1}=\frac{1}{2-u_k}\) . Cela ne doit pas être trop difficile.
Bon courage !

Alors ça donne :
Uk+1=1/(2-Uk) = 1/(2-(k+1/k+2)) = 1/(2(k+2)-(k+1))/(k+2)

Mais ensuite je n'arrive pas à trouver Uk+1=((k+1)+1)/((k+1)+2)

Tu es pourtant sur la bonne voie !!
Continue ton calcul en réduisant l'écriture de ta fraction et tu obtiendras le résultat que tu veux !

Bon courage

SOS-math

Alors si je continue ça me donne Uk+1= 1/ ((k+2)-(k+1))
Mais je ne vois pas comment je peux arriver aux résultats attendus..
Je m'excuse, ça doit être une question simple mas je ne vois pas comment faire..

En effet, tu as perdu des morceaux de ta fraction !
Reprenons : \(u_ {k+1}= ... = \frac{1}{\frac{2(k+2)- (k+1)}{k+2}}=\). C'est cette dernière fraction qu'il faut réduire : commence par réduire le numérateur de la fraction qui est au dénominateur. Ensuite utilise le résultat "diviser par une fraction c'est ...."

SOS-math

Oui d'accord mais comment je fais pour réduire le numérateur de la fraction qui est au dénominateur ? C'est possible ?
Oui après je vois il faut diviser par l'inverse

il faut multiplier par l'inverse, excusez moi c'est une erreur inattention..

Commence par développer le numérateur de la fraction qui est au dénominateur.

SOS-math

Oui, dans un deuxième temps c'est bien cela qu'il faudra faire.

SOS-math

J'ai développé et j'arrive à Uk+1= 1/(k+3)/(k+2)
Est ce juste jusque là ?

Oui, c'est bien cela.
Il te reste maintenant à prendre l'inverse et tu auras le résultat que tu souhaites.

SOS-math

Prendre l'inverse ça me donne : Uk+1= 1/(k+3) x 1/(k+2) = 1/((k+3)(k+2))
Mais ça ne me donne pas le résultat voulu

Non, là tu commets une erreur ; un petit rappel d'algèbre : \(\frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{a}\).

SOS-math

Ah merci beaucoup :)

Donc ensuite pour en déduire le signe de n je peux dire ceci :
Vu que Uo= 1/2 et que Un= n+1/ n+2 alors Un est positif pour tout n appartenant à N