DM

[Lili]

Bonjour j'ai un Dm de math, j'ai commencé mais je suis bloqué à des endroits..
On donne la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par Un+1=1/(2-Un) et Uo=1/2

1)Démontrer par récurrence que Un=(n+1)/(n+2). En déduire le signe de Un pour tout n appartenant à N

J'ai commencé comme ça :
Initialisation : Uo=1/2 et Un=2/3
La propriété est vraie au rang 0 et au rang 1
Hérédité :
Je dois montrer que si la propriété est vraie au rang k alors elle l'est aussi au rang k+1
C'est à dire que si Uk=k+1/k+2 alors Uk+1=(k+1)+1)/(k+1)+2

Je ne sais pas comment avancer là
Merci pour votre aide

[sos-math(28)]

Bonjour Lili
Bien, tu as l'initialisation (une seule vérification suffisait : au rang 0)
Tu sais ce que tu dois démontrer : \(u_{k+1}=\frac{(k+1)+1}{(k+1)+2}\), à partir de ce que tu supposes vrai à savoir \(u_{k}=\frac{k+1}{k+2}\) or tu sais que
\(u_{k+1}=\frac{1}{2-u_k}\) . Cela ne doit pas être trop difficile.
Bon courage !

[Lili]

Alors ça donne :
Uk+1=1/(2-Uk) = 1/(2-(k+1/k+2)) = 1/(2(k+2)-(k+1))/(k+2)

Mais ensuite je n'arrive pas à trouver Uk+1=((k+1)+1)/((k+1)+2)

[sos-math(20)]

Tu es pourtant sur la bonne voie !!
Continue ton calcul en réduisant l'écriture de ta fraction et tu obtiendras le résultat que tu veux !

Bon courage

SOS-math

[Lili]

Alors si je continue ça me donne Uk+1= 1/ ((k+2)-(k+1))
Mais je ne vois pas comment je peux arriver aux résultats attendus..
Je m'excuse, ça doit être une question simple mas je ne vois pas comment faire..

[sos-math(20)]

En effet, tu as perdu des morceaux de ta fraction !
Reprenons : \(u_ {k+1}= ... = \frac{1}{\frac{2(k+2)- (k+1)}{k+2}}=\). C'est cette dernière fraction qu'il faut réduire : commence par réduire le numérateur de la fraction qui est au dénominateur. Ensuite utilise le résultat "diviser par une fraction c'est ...."

SOS-math

[Lili]

Oui d'accord mais comment je fais pour réduire le numérateur de la fraction qui est au dénominateur ? C'est possible ?
Oui après je vois il faut diviser par l'inverse

[Lili]

il faut multiplier par l'inverse, excusez moi c'est une erreur inattention..

[sos-math(20)]

Commence par développer le numérateur de la fraction qui est au dénominateur.

SOS-math

[sos-math(20)]

Oui, dans un deuxième temps c'est bien cela qu'il faudra faire.

SOS-math

[Lili]

J'ai développé et j'arrive à Uk+1= 1/(k+3)/(k+2)
Est ce juste jusque là ?

[sos-math(20)]

Oui, c'est bien cela.
Il te reste maintenant à prendre l'inverse et tu auras le résultat que tu souhaites.

SOS-math

[Lili]

Prendre l'inverse ça me donne : Uk+1= 1/(k+3) x 1/(k+2) = 1/((k+3)(k+2))
Mais ça ne me donne pas le résultat voulu

[sos-math(20)]

Non, là tu commets une erreur ; un petit rappel d'algèbre : \(\frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{a}\).

SOS-math

[Lili]

Ah merci beaucoup :)

Donc ensuite pour en déduire le signe de n je peux dire ceci :
Vu que Uo= 1/2 et que Un= n+1/ n+2 alors Un est positif pour tout n appartenant à N