Limite exponentielle

[Quentin]

Bonjour, je suis en terminale S sur le chapitre des exponentielle et mon DS est vendredi.
Sur un exercice je rencontre un petit problème :
Je ne trouve pas la limite de g(x)=x^2e^-x^2 en + et - infini. Avec la calculatrice on voi facilement que ca tend vers 0 amis comment el prouver.

Quand je fais par composition la limite de e^-x^2 je trouve 0 mais du coup par produit avec x^2 qui tend vers +infini je retombe sur une FI... Et comme c'est une multiplication je peux pas factoriser ni développer, donc je ne vois pas de solutions...

Merci !

[SoS-Math(11)]

Bonjour Quentin,

Tu dois appliquer la formule valable pour tout n entier naturel positif : \(\lim_{x \to -\infty}x^n e^{x} = 0\)

Tu peux poser \(X=x^2\) si besoin

Bon courage

[Quentin]

Eu.. je vois pas.

Si je pose X=x^2
lim x^2 = +infini (x<-- -infini)
Du coup si je fait par composition je doit faire tendre x vers + infini.
et lim Xe^-X (X<-- +infini) = FI ...
et j'utilise pas la limite x^ne^x=0 en -infini ...

[SoS-Math(11)]

Dans ce cas tu utilises la propriété, vraie pour tout n positif : \(\lim_{x \to +\infty}\frac{x^n} {e^x}=0\) .

Bonne fin de révisions

[Quentin]

Je ne vois vraiment pas comment utiliser ces limites ...

[SoS-Math(11)]

Tu dois chercher, si j'ai bien interprété tes notations, \(\lim_{x \to +\infty}x^2 e^{-x^2}\).

Comme \(x^2 e^{-x^2}=\frac{x^2}{e^{x^2}}\) et \(\lim_{x \to +\infty}x^2=\lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty\) si tu poses \(X=x^2\), tu peux appliquer la formule de mon dernier message.

Bon courage

[Quentin]

Ah oui d'accord ! Donc on trouve bien, par composition, que la limite est égale à 0 quand x tend vers +infini.

Et du coups en -infini :

lim x^2=+infini
(x<-- -infini)
lim X/e^X= 0
(X<-- +infini)

Donc par composition la limite est aussi égale a 0 en -infini !

Merci beaucoup !

[SoS-Math(11)]

Ok, c'est bien, bonne fin de soirée

[Quentin]

Ah oui est dernière petite question qui me passe pas la tête !


Lorsque l'on doit calculer une limite en 0 lorsque la fonction comporte des exponentielles (mais pas la fonction e^x telle quelle!) est ce que l'on doit faire en 0 par valeur supérieure ET négative ou seulement par valeur supérieure vu que la fonction e^x ne peux pas être négative ?

De même lorsque avec un quotient comportant des exponentielles on arrive a la forme 1/0, c'est toujours 0+ ou il est possible que se soit 0- ? Dans le cas du fonction ''normale'' on fait un tableau de signe pour trouver le signe du zéro mais du coup la on fait comment ?

[sos-math(20)]

Bonsoir Quentin,

Pour une limite en 0, il faut en effet distinguer \(0^+\) et \(0^-\). Si l'on trouve le même résultat dans les deux cas, on peut alors parler de la limite EN 0.

Lorsqu'on tombe sur un quotient avec 0 au dénominateur, il faut effectivement pousser plus loin l'étude pour savoir si c'est \(0^+\) ou \(0^-\) pour pouvoir conclure.

A bientôt sur SOS-math

[Quentin]

Comme trouve t'on la valeur en 0+ et en 0- ? Tableau de signe ?
Pareil pour le 0 au dénominateur... On fait comment ?

[sos-math(20)]

Tout dépend de l'expression de la fonction étudiée.

Mais vous avez l'air de confondre deux choses : x tend vers \(0^+\) signifie que x tend vers 0 et qu'il est strictement positif, il n'est pas question ici d'étudier un signe.
Par contre, pour savoir si le résultat d'une limite quand x tend vers "quelque chose" est \(0^+\) ou \(0^-\), alors là oui il faut faire une étude de signe (pas forcément un tableau de signe, on peut souvent conclure sans tableau).

C'est bien compliqué pour moi de vous expliquer tous les cas possibles : avez-vous une fonction en particulier qui vous pose problème ?

A bientôt sur SOS-math

[Quentin]

Merci je pense avoir compris ! Non je n'ai pas de fonction en particulier me posant problème je me suis juste poser cette question comme ça ! :P