SOS-MATH

Bonjour, je m'adresse à vous car j'ai un problème pour résoudre un exercice de maths:
On considère la fonction f définie par f(x) = e^x-1/e^x-x
1) a. Démontrer que pour tout réel x, e^x - x >= 1, justifier alors que f est définie sur R.
b. déterminer les limites de f en -∞ et +∞
c. calculer f'(x)
2)Etude du signe d'une fonction auxiliaire P. on considère la fonction P définie sur R par P(x)= (2-x)e^x-1
a. Établir le tableau de variations de P (limites comprises).
b. Démontrer que l'équation P(x)=0 admet exactement deux solutions a et B avec a<B
c. A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de a d'amplitude 10^-2. Faire de même avec B.
d. montrer que e^a= 1/2-a
3)a. Etudier les variations de f
b. Montrer que f(a) = 1/a-1

J'ai répondu a la question 1)a et j'ai trouvé 0 comme lim en -∞ et 1 en +∞
En revanche je ne suis pas sure de moi pour la dérivée de la fonction f j'ai trouvé a l'aide de (u/v)' -xe^x+2e^x-1/(e^x-e)²
et je n’arrive pas a faire la question 2 pourriez vous m'aider s'il vous plait ?
Merci d'avance et à bientôt.

On considère la fonction f définie par f(x) = e^x-1/e^x-x

Bonsoir Carla
To énoncé n'est pas clair du tout. Il manque probablement des parenthèses.
Ce que tu écris correspond à \(e^x-\frac{1}{e^x}-x\) et je ne penses pas que cela le bon énoncé.
C'est peut-être : \(e^x-\frac{1}{e^x-x}\) ou même \(\frac{e^x-1}{e^x-x}\)
Pour ta dérivée il y a certainement aussi un problème de parenthèses et le fait d'avoir e tout seul est peu probable.
Pour la question 2 il faut étudier le signe de la fonction dérivée (un classique !)
Bon courage

Bonsoir,
Désolé effectivement il s'agit bien de (e^x-1)/(e^x-x).
voilà mon calcul de dérivée : [ e^x(e^x - x)-(e^x - 1)²]/(e^x - x )² = [e^2x - xe^x - (e^2x -2e^x +1)]/ (e^x -x)² = [e^2x - xe^x-e^2x + 2e^x -1]/(e^x -x)² = [-xe^x +2e^x -1]/(e^x -x)²

pour la question c'est effectivement ce que j'ai fait mais mon résultat me paraît bizarre le voici : -3e^x-xe^x

La dérivée de f est bien : \(f'(x)= \frac{-xe^x +2e^x -1}{(e^x -x)^2}\).
Je ne comprends pas ce que vous avez voulu dire ensuite; ce résultat de dérivée est tout à fait cohérent avec la fonction auxiliaire définie dans la question suivante.

SOS-math

D'accord,
Mais en fait je ne vois pas comment m'y prendre pour les questions suivantes notamment le tableau de variation et les deux solutions.

Un résultat fondamental que vous devez connaître : pour étudier les variations d'une fonction, on calcule sa dérivée puis on en étudie le signe; c'est ce que vous devez faire avec la fonction P.

Bon courage

SOS-math